12.4 整式的除法-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

１２．４　整式的除法


● 探索并归纳出单项式除以单项式、多项式除以单 项式的法则,并能熟练计算． ● 进一步体会除法与乘法互为逆运算,理解整式除 法运算的道理,会进行简单的整式除法运算． 　　 J 知识点　单项式除以单项式 有理数的除法:同号得正,异号得负, 并把绝对值相除;０除以任何不等于０ 的数都得０． 同底数幂的除法:am ÷an＝am－n(m、 n 为正整数,且m＞n,a≠０)． 单项式与单项式相乘: (１)系数相乘作积的系数; (２)相同字母 的幂相乘作积的一个 因式; (３)对于只在一个单项式中出现的字 母,则连同它的指数一起作为积的一 个因式． 单项式相除,把系数、同底数幂分别相 除作为商的因式,对于只在被除式中 出现的字母,则连同它的指数一起作 为商的一个因式． '. (１)单项式除以单项式的计算方法与 单项式乘以单项式的计算方法相似, 分别将系数、相同字母的幂相除． (２)计算两个单项式相除的结果时,不 要漏掉它们前面的符号． (３)两个相同且不为０的单项式相除, 结果为１． 单项式除以单项式 【例１】计算:(１)１２x５y３z÷３x４y; ７４ (２)( － ２ ３x ３y４ ) ÷(xy)２; (３)( － １ ２x ２y３z) ２ ÷(－０．５x３y３)． 解:(１)１２x５y３z÷３x４y＝(１２÷３)x５－４􀅰 y３－１z＝４xy２z． (２)( － ２ ３x ３y４) ÷(xy)２＝ ( － ２ ３x ３y４) ÷ x２y２＝－ ２ ３x ３－２y４－２＝－ ２ ３xy ２． (３)( － １ ２x ２y３z ) ２ ÷(－０．５x３y３)＝ １ ４x ４y６z２÷(－０．５x３y３)＝－ １ ２xy ３z２． 4 　　计算单项式除以单项式时,不要 漏掉符号．当有乘除和乘方运算时,应 先算乘方,再算乘除;当只有乘除运算 时,按照从左到右的顺序进行计算． 单项式除以单项式的推广 【例２】计算:１６(a－b)４÷[－４(b－a)３]． 解:方法１:１６(a－b)４÷[－４(b－a)３] ＝１６(b－a)４÷[－４(b－a)３] ＝－４(b－a)＝－４b＋４a． 方法２:１６(a－b)４÷[－４(b－a)３] ＝１６(a－b)４÷[４(a－b)３] ＝４(a－b)＝４a－４b． 4 　　当底数互为相反数时,可以先通 过符号规律转化为相同的底数,再按 照同底数幂的除法法则进行计算． 知识点　多项式除以单项式 单项式与多项式相乘,将单项式分别 乘以多项式的每一项,再将所得的积 相加． 因为m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc(单 项式乘以多项式), 所以(ma＋mb＋mc)÷m＝a＋b＋c (除法与乘法互逆)． 多项式除以单项式,先用这个多项式 的每一项除以这个单项式,再把所得 的商相加． '. 　　多项式除以单项式要转化为单项 式除以单项式来计算．在转化过程中, 要注意商的各项的符号由多项式各项 的符号与单项式的符号共同确定． 多项式除以单项式 【例３】计算:(１)( ２ ５y ３－４xy２－ ２ ３y ４ ) ÷ ２ ３y ２; (２)(１６x３－８x２－６x)÷(－２x)． 解:(１)原式＝ ２ ５y ３÷ ２ ３y ２－４xy２÷ ２ ３y ２－ ２ ３y ４÷ ２ ３y ２＝ ３ ５y－６x－y ２． (２)原 式 ＝１６x３ ÷ (－２x)－８x２ ÷ ８４ (－２x)－６x÷(－２x)＝－８x２＋４x＋３． 4 (１)多项式中的每一项都包括它前面 的符号; (２)商的项数应与被除式(多项式)的 项数相同,不要漏项; (３)如果除式的符号为负,那么商中各项 的符号与原多项式各项的符号都相反． 多项式与单项式的混合运算 【例４】计 算:(１)(２４a４y３ －１２a３y２ ＋ ３a２y２)÷(－２ay)２; (２)[(x－y)２＋(x＋y)(x－y)]÷２x． 解:(１)原 式 ＝ (２４a４y３ －１２a３y２ ＋ ３a２y２)÷４a２y２＝６a２y－３a＋ ３ ４． (２)原式＝(x２－２xy＋y２＋x２－y２)÷２x ＝(２x２－２xy)÷２x ＝x－y． 4 　　对于多项式除以单项式的混合运 算,有乘方时要先算乘方,再算乘除． 对多项式的化简,能用公式的要利用 公式,以简化运算． 类型一　单项式的乘除 混合运算 【例１】计算:(３x２)３􀅰(－２x４)÷(－９x７)． 审题关键:这类题目的特点是既含有 乘方又含有整式的乘除法．解决此类 问题的关键是先算乘方后算乘除, 当只有乘除时,按照从左到右的顺 序进行计算． 解:原式＝(２７x６)􀅰(－２x４)÷(－９x７) ＝(－５４x１０)÷(－９x７)＝６x３． １．计算:(－２x２y３)４÷８(－xy２)３�