12.3 乘法公式-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

１２．３　乘法公式


● 会由整式的乘法法则推导乘法公式:(a＋b)(a－ b)＝a２－b２,(a±b)２＝a２±２ab＋b２． ● 结合公式的几何背景,体会公式的几何意义． ● 掌握公式的结构特点,能熟练地运用公式进行计 算、化简． 　　 J 知识点　两数和乘以这 两数的差 (a＋b)(a－b) ＝a２－ab＋ab－b２(用多项式乘以多 项式的法则计算) ＝a２－b２(合并同类项)． 平方差公式:(a＋b)(a－b)＝a２－b２． 语言叙述:两数和与这两数差的积, 等于这两数的平方差． 如图１２．３Ｇ１所示,观察从左到右的拼图． 图１２．３Ｇ１ 左侧阴影的面积为(a＋b)(a－b),右 侧阴影的面积为a２－b２． 几何意义:左侧阴影的面积等于右侧阴 影的面积,即(a＋b)(a－b)＝a２－b２． '. (１)取值:公式中的字母a、b 既可以 是具 体 的 数,也 可 以 是 单 项 式 或 多 项式． (２)结构:公式的左边是两个二项式相 乘,这两个二项式中有一项完全相同, 另一项互为相反数,公式的右边是乘 式中两项的平方差(相同项的平方减 去相反项的平方)． ８３ 直接运用公式计算 【例１】计算:(１)(４x＋５y)(４x－５y); (２)(２a＋３b)(３b－２a); (３)(－a－b)(a－b)． 解:(１)(４x＋５y)(４x－５y) ＝(４x)２－(５y)２ ＝１６x２－２５y２． (２)(２a＋３b)(３b－２a) ＝(３b＋２a)(３b－２a) ＝(３b)２－(２a)２ ＝９b２－４a２． (３)(－a－b)(a－b) ＝(－b－a)(－b＋a) ＝(－b)２－a２ ＝b２－a２． 4 运用平方差公式计算的步骤 第１步:找准同与反(两个二项式中相 同的项与互为相反数的项)． 第２步:化为和与差(化为两个数的和 乘以这两个数的差),套用公式． 利用公式简化运算 【例２】计算:９８×１０２． 解:９８×１０２＝(１００－２)(１００＋２)＝ １００２－４＝１００００－４＝９９９６． 4 　　运用平方差公式简化运算的关键 是将原来的两数分别改写成两数的和 与这两数的差． 利用平方差公式解决生活中的实际 问题 【例３】小红家有一块 L形菜地,要把 L 形菜地按如图１２．３Ｇ２所示的方式分成 面积相等的两个梯形,并种上不同的 蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米, 下底都是b米,高都是(b－a)米． 图１２．３Ｇ２ (１)请你算一算,小红家的菜地面积共 有多少平方米? (２)当a＝１０,b＝３０时,菜地面积是 多少? 解:(１)小红家的菜地面积共有 ２× １ ２ (a＋b)􀅰(b－a)＝(b２－a２)平方米． (２)当a＝１０,b＝３０时,菜地面积为 ３０２－１０２＝９００－１００＝８００(平方米)． 4 　　运用平方差公式解决实际问题的 关键是根据实际问题列出代数式,在 计算化简时运用平方差公式． 知识点一　两数和的平方 (a＋b)２＝(a＋b)(a＋b)(乘方的意义) ＝a２＋ab＋ab＋b２(用多项式乘以多 ９３ 项式的法则计算) ＝a２＋２ab＋b２(合并同类项)． 两数和的平方公式:(a＋b)２＝a２＋ ２ab＋b２． 语言叙述:两数和的平方,等于这两 数的平方和加上它们的积的２倍． 如图１２．３Ｇ３,将左侧的图形拆分成右 侧的三部分． 图１２．３Ｇ３ (１)左侧图形的面积为(a＋b)２; (２)右侧的三部分图形面积的和为a２＋ ２ab＋b２． 几何意义:左侧图形的面积等于右侧 的三部分图形面积的和,即(a＋b)２＝ a２＋２ab＋b２． '. (１)取值:公式中的a、b 既可以是数, 也可以是单项式或多项式． (２)结构:公式的左边是一个二项式和 的完全平方;右边是一个二次三项式, 其中有两项是公式左边二项式中每一 项的平方,另一项是左边二项式中两 项乘积的２倍．简记为:首平方,尾平 方,两数２倍在中央． 【例４】计算:(１)(３x＋１)２;　(２)１０１２． 解:(１)(３x＋１)２＝(３x)２＋２×(３x)× １＋１２＝９x２＋６x＋１． (２)１０１２＝(１００＋１)２＝１００２＋２×１００× １＋１２＝１０２０１． 4 　　利用两数和的平方公式计算时, 一方面要掌握公式的结构特点,另一 方面找准要计算的两数和的平方与公 式中的字母的对应关系,以便套用公式． 知识点二　两数差的平方 (a－b)２＝(a－b)(a－b)(乘方的意义) ＝a２－ab－ab＋b２(用多项式乘以多 项式的法则计算) ＝a２－２ab＋b２(合并同类项)． 两数差的平方公式:(a－b)２＝a２－ ２ab＋b２． 语言叙述:两数差的平方,等于这两 数的平方和减去它们的积的２倍． 图１２．３Ｇ４ 　图１２．