11.1 平方根与立方根-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

第１１章　数的开方 



 １１．１　平方根与立方根


● 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根 号表示数的平方根、算术平方根、立方根． ● 会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方 运算求某些数的立方根． ● 会用计算器求一个数的平方根和立方根． 　　 J 知识点一　平方根的概念 及性质 填空:(±３)２＝９;(±０．５)２＝０．２５; (±０．０９)２＝０．００８１． 归纳:这些问题的共同特点是已知平 方的结果,求底数的值． 平方根的概念:如果一个数的平方等 于a,那么这个数叫做a 的平方根． 平方根的性质:正数的平方根有两 个,它们互为相反数;０的平方根是０; 负数没有平方根． '. (１)负数没有平方根的原因:任何一个 数的平方一定是一个正数或０,找不 到一个数的平方等于一个负数,所以 负数没有平方根． (２)一个正数与其平方根的关系:正数 的平方根有两个．例如,５与－５都是 ２５的平方根,但是不能说２５的平方 根是５或２５的平方根是－５． １ 【例１】求下列各数的平方根: (１)１６９;　(２)２．８９;　(３) ４９ １２１． 解:(１)因为(±１３)２＝１６９, 所以１６９的平方根是±１３． (２)因为(±１．７)２＝２．８９, 所以２．８９的平方根是±１．７． (３)因为 ( ± ７ １１) ２ ＝ ４９ １２１ , 所以 ４９ １２１ 的平方根是± ７ １１． 4 　　求一个数的平方根就是求哪些数 的平方等于这个数,可以利用平方运 算去求． 知识点二　算术平方根 算术平方根的概念 (１)正数a 的正的平方根,叫做a 的算 术平方根． (２)０的算术平方根是０． 平方根及算术平方根的表示 (１)算术平方根:a 的算术平方根记作 a(a≥０),读作“根号a”,a 叫做被开 方数． (２)平方根:a的平方根记作± a(a≥０)． 开平方的概念:求一个非负数的平方 根的运算,叫做开平方． '. (１)算术平方根与平方根的区别: ①定义不同． ②表示形式不同:正数a 的平方根表 示为± a,正数a 的算术平方根表示 为 a． ③个数不同:一个正数的平方根有两 个,它们一正一负,且互为相反数;一 个正数的算术平方根只有一个,且一 定为正数． (２)算术平方根与平方根的联系: ①具有包含关系:平方根包含算术平 方根,一个数的算术平方根是这个数 的平方根中的一个． ②存在条件相同:在平方根± a、算 术平方根 a中,被开方数a 都是非负 数,即a≥０,也就是说,只有非负数 (正数和０)才有算术平方根和平方根． 【例２】将下列各数开平方: (１)０．６４;　(２)１０－２;　(３)２ ４１ ６４． 解:(１)因为０．８２＝０．６４,所以 ０．６４＝ ０．８,因此０．６４的平方根为± ０．６４＝ ±０．８． (２)因为 ( １ １０) ２ ＝(１０－１)２＝１０－２, 所以 １０－２ ＝ １ １０ , 因此１０－２的平方根为± １０－２ ＝± １ １０． ２ (３)因为２ ４１ ６４＝ １６９ ６４ ,且 ( １３ ８ ) ２ ＝ １６９ ６４ , 所以 １６９ ６４ ＝ １３ ８ , 因此２ ４１ ６４ 的平方根为± ２ ４１ ６４＝± １６９ ６４＝ ± １３ ８． 4 　　求一个数的平方根,要先求它的 算术平方根,再由算术平方根得出平 方根．对于带分数,应先将其化为假分 数再求． 知识点三　用计算器求正数 的算术平方根 　利用计算器可以求任何一个正数的算 术平方根．一般科学计算器上都有 键,用它可求出一个正数的算术平方 根(或近似值)． '. 　　按键顺序:一般地,先按 键,再 输入被开方数,最后按 ＝ 键,即显示 结果．不同的计算器的按键顺序有所 不同,使用前应参看使用说明书． 【例３】用计算器求下列各数的算术平 方根: (１)１２２５;　(２)４５．２１(精确到０．０１)． 解:(１)在计算器上依次键入 １ ２ ２ ５ ＝ ,显示结果为３５,所以 １２２５的算术平方根为 １２２５＝３５． (２)在计算器上依次键入 ４ ５ 􀅰 ２ １ ＝ ,显示结果为６．７２３８􀆺, 要求精确到０．０１,可得 ４５．２１≈６．７２． 4 　　用计算器求得的算术平方根有些 是近似值,不是精确值．对于近似值, 一般要按照题目要求进行取舍． 知识点一　立方根的概念 及性质 填空:(２)３＝８;(－３)３＝－２７; (０)３＝０． 归纳:这些问题的共同特点是已知立 方的结果,求底数的值． 立方根的概念:如果一个数的立方等 于a,那么这个数叫做a 的立方根． 立方根的性质:正数的立方根是正 数;负数的立方根是负数;０的立方根 是０． ３ 立方根的表示:数a 的立方根,记作 ３a,读作“三次根号