第5章 相交线与平行线 章末整合提升-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（华东师大版)

章末整合提升 专题一　相交线中有关角的计算与推理 　　相交线中对顶角的性质、邻补角的 定义、垂直的定义及性质是进行角度计 算与推理时常用的重要依据，同时，角 的平分线的知识也常在这类题中出现， 解答时要正确应用与其相关的各种几何 表达式． 例１如图５Ｇ１,AB,CD 相交于点O,OE, OF 分别平分∠AOC,∠BOC．试说明 OE⊥OF． 图５Ｇ１ 审题关键:要说明OE⊥OF,只要使∠１＋ ∠２＝９０°即可,由于∠AOC 与∠BOC 是邻补角,OE,OF 分别平分∠AOC, ∠BOC,故根据角平分线的定义可得 结论成立． 解:因 为 OE,OF 分 别 平 分 ∠AOC, ∠BOC(已知), 所以∠１＝ １ ２∠AOC ,∠２＝ １ ２∠BOC (角平分线的定义)． 所以∠１＋∠２＝ １ ２∠AOC＋ １ ２∠BOC＝ １ ２ (∠AOC＋∠BOC)． 又因为∠AOC＋∠BOC＝１８０°(邻补角的 定义), ５２２ 所以∠１＋∠２＝ １ ２×１８０°＝９０°． 所以OE⊥OF(垂直的定义)．  　　解决此类推理问题,熟练掌握角 平分线、垂直等的性质是关键．另外, 推理 思 路 要 清 晰,推 理 过 程 要 步 步 有据． 专题二　平行线的判定与性质 　　运用平行线的判定与性质时，首先 要学会识图，熟悉与平行线有关的基本 图形——“三线八角”，以及与其他知识 有关的基本图形；其次，能利用标准图 形去认识变式图形，会将较复杂的图形 分离成几个基本图形．解题时，要根据题 目的条件和图形的情况，灵活运用平行 线的判定和性质解题． 例２如图５Ｇ２,已知∠１＝∠２＝∠G,试 说明:AD 平分∠BAC． 图５Ｇ２ 审题关键:要说明AD 平分∠BAC,即要 得 ∠２＝ ∠３,而 ∠２＝ ∠１,则 需 得 ∠３＝∠１．欲得∠３＝∠１,只需得AD∥ GE,而这可由∠２＝∠G 得出． 解:因为∠２＝∠G(已知), 所以AD∥GE(同位角相等,两直线平 行), 所以∠３＝∠１(两直线平行,同位角相 等)． 又因为∠１＝∠２(已知), 所以∠３＝∠２,故AD 平分∠BAC． @. 　　在解与平行线的判定和性质有关 的题目时,要注意平行线的判定和性 质的区别,两者的条件和结论完全相 反,不要混淆． 专题三　辅助线在平行线类问题中的应用 　　在一些几何问题中，如果仅靠图形 中已有的条件无法解决问题，可结合已 知条件和图形的性质添加辅助线，使题 目中的已知条件和所求结论很好地联系 起来，从而解决问题． 图５Ｇ３ 例３如图５Ｇ３所示,已知 AB∥EF,∠BCD ＝ ９０°,求∠α＋∠β－∠γ 的度数． 审题关键:分别过C,D 两点作 AB 与 EF 的 平行线,将∠α,∠β,∠γ 化归为平行线 的相关角来求解． 解:如图５Ｇ４,过点C 作CG∥AB,过点D 作DH∥EF． 图５Ｇ４ 因为AB∥EF(已知), 所以AB∥CG∥DH ∥EF(平行线的 传递性)． ６２２ 所以 ∠α＝ ∠１,∠２＝ ∠３,∠γ＝ ∠４ (两直线平行,内错角相等)． 因为∠β＝∠３＋∠４,∠BCD＝∠１＋ ∠２＝９０°, 所以 ∠α＋ ∠β－ ∠γ＝ ∠１＋ ∠３＋ ∠４－∠４＝∠１＋∠２＝９０°．  　　通过添加辅助线,可将较复杂的 几何图形转化为由平行线构成的基本 图形,从 而 得 到 相 关 角 之 间 的 数 量 关系． 专题四　思想方法专题 １．分类讨论思想 当被研究的对象包含多种可能情况时, 我们必须对出现的所有情况进行分类 讨论,得出各种情况下的结论,这种思 想方 法 能 使 复 杂 的 问 题 条 理 化、简 单化． 例４已知∠ABC 和∠DEF 的两边分别 平行,那么这两个角的关系是 (　　) A．∠ABC＝∠DEF B．∠ABC＋∠DEF＝１８０° C．∠ABC ＝ ∠DEF 或 ∠ABC ＋ ∠DEF＝１８０° D．不能确定 解析:由于已知的两个角是锐角、钝角, 还是直角,不能确定,故要从四个方面 加以讨论,如图５Ｇ５所示． ①　　　　　　　　② ③　　　　　　　④ 图５Ｇ５ 由图可以看出,这两个角的关系为相等 或互补． 答案:C @. 　　充分结合已知条件,找出符合题 意的所有情况进行分析,得出结论．片 面地理解题意容易漏解． ２．方程思想 方程思想就是通过设未知数建立方程 来求解的思想方法．例如,求角的大小, 对要求的角列式计算很复杂时,可采用 列方程来解决． 例５如图５Ｇ６所示,直线AB 交CD 于点 O,OE 平分∠BOD,OF 平分∠COB, ∠AOD∶∠BOE＝４∶１,求∠AOF 的 度数． 图５Ｇ６ 审题关键:可设∠BOE＝x,根据相关角 之间的数量关系列方程求解,进而解 决问题． 解:因为OE 平分∠BOD, 所以∠BOE＝∠DOE