5.1 相交线-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（华东师大版)

第５章　相交线与平行线 ５．１　相交线


● 结合具体情境,理解对顶角的概念及性质． ● 会用三角尺、量角器过一点画一条直线的垂线． ● 会识别同位角、内错角、同旁内角． ● 体验数学解题的严谨性,养成严密思考的习惯． 　 J 知识点　对顶角 两条直线相交,只有一个交点． 用一句话描述图５．１Ｇ１为直线 AB, CD 相交于点O． 图５．１Ｇ１ 观察图５．１Ｇ２所示的两条直线相交形 成的四个角,然后填表． 图５．１Ｇ２ 角 ∠１与∠２∠２与∠３∠１与∠３∠２与∠４ 位置关系 相邻 相邻 相对 相对 数量关系 互补 互补 相等 相等 对顶角的定义:两个角具有相同的顶点, 并且这两个角的两边互为反向延长线, 我们把这样的两个角叫做对顶角． 对顶角的性质:对顶角相等． (１)两个角是对顶角需满足两个条件: ①这两个角有公共顶点; ②其中一个角的两边与另一个角的两 边互为反向延长线(要注意对“反向延 长线”的理解)． (２)互为余角或补角主要反映角的数 量关系,而对顶角主要反映角的位置 关系． ３０２ 【例１】如图５．１Ｇ３所示,直线 AB,CD, EF 相 交 于 点 O,且 ∠AOD ＝９０°, ∠１＝４０°,求∠２的度数． 图５．１Ｇ３ 解:由 对 顶 角 相 等,得 ∠DOF ＝ ∠１＝４０°． 又因为∠AOD＋∠DOF＋∠２＝１８０°, ∠AOD＝９０°, 所以∠２＝１８０°－９０°－４０°＝５０°． 4 在几条直线相交 于 一 点 的 情 况 下,需考虑对顶角、邻补角的关系,进 而寻找与所求角有关的等量关系． 知识点一　垂线的定义 当两条直线相交所构成的四个角中有 一个为直角时,其他三个角也都成为 直角,此时这两条直线互相垂直,其中 图５．１Ｇ４ 一条直线叫做另一条 直线的垂线,它们的交 点 叫 做 垂 足．如 图 ５．１Ｇ４所示,直线 AB, CD 互相垂直,垂足为 O,记作 “AB ⊥CD”, 读作“AB 垂直于CD”． (１)对于垂直,应注意它是表示两条直 线位置关系的概念．与垂直密切相关的 就是直角,所以若已知条件给出两直线 垂直,就可以得出相交所成的四个角都 是直角;反过来,若相交直线所成的四个 角中有一个角是９０°,则这两条直线互相 垂直．另外,在叙述两条直线垂直时,往 往需将垂足写出来． (２)垂直是相交线的一种特殊情况,即 在同一平面内,有一个公共点的两条 直线为相交线,当两条直线垂直时,这 个公共点即为垂足． 【例２】如图５．１Ｇ５所示,已知∠ACB＝ ９０°,D 为边AB 上一点,且∠ADC＝ ∠BDC,写出图中互相垂直的线段． 图５．１Ｇ５ 审题关键:说明两线段垂直的方法是 说明两线段相交所成的角中有一个 角是直角． 解:因为∠ACB＝９０°,所以AC⊥BC．因 ４０２ 为∠ADC ＋ ∠BDC ＝１８０°,∠ADC ＝ ∠BDC,所以∠ADC＝∠BDC＝９０°,所 以CD⊥AB,CD⊥AD,CD⊥BD． 知识点二　垂线的画法及性质 画法 根据垂直的定义,知画垂线也就是作 直角．因为直角的两条边所在的直线 是垂直的,所以垂线的画法通常有两 种:(１)利用三角尺的两条直角边的垂 直关系画,基本步骤是一靠、二过、三 画,即将三角尺的一条直角边紧靠已 知直线,另一条直角边过已知点(通常 又叫做定点),沿三角尺过已知点的一 边画线,如图５．１Ｇ６所示;(２)利用量 角器画,主要是通过画一个９０°的角来 得到垂线,如图５．１Ｇ７所示． 图５．１Ｇ６ 图５．１Ｇ７ 性质:过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直． 【例３】(１)如图５．１Ｇ８所示,用三角尺过 点A 作直线l的垂线; 图５．１Ｇ８ (２)如图５．１Ｇ９所示,过点 B 作直线 AC 的垂线BE,垂足为点D． 图５．１Ｇ９ 审题关键:作图时应找准直角的位置． 解:(１)如图５．１Ｇ１０所示,直线AQ 即为所 求作的直线． 图５．１Ｇ１０ 　 图５．１Ｇ１１ (２)直线BE 如图５．１Ｇ１１所示． 4 (１)作 垂 线 时 要 把 垂 足 用 字 母 标 注 出来; (２)习惯上用符号“”标注直角． 知识点三　垂线段及其性质、 点到直线的距离 如图５．１Ｇ１２,AB⊥l,垂足为点B,点 C,D,E,F 分别为直线l上的点． ５０２ 图５．１Ｇ１２ 垂线段 (１)定义:从直线外一点向某直线作垂 线,该点和垂足之间的线段称为垂线段． 图５．１Ｇ１２中,线段AB 为点A 到直线l 的垂线段． (２)性质:直线外一点与直线上各点连 结得 到 的 线 段 中,垂 线 段 最 短．图 ５．１Ｇ１２中,点A 与直线l上各点连结 得到的线段中,线段AB 最短． 点到直线的距离:从直线外一点到这 条直线的垂线段的长度,叫做点到直 线的距离．图５．１Ｇ１２中