2.13 有理数的混合运算-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（华东师大版)

２．１３　有理数的混合运算


● 掌握有理数混合运算的法则及运算顺序． ● 能够熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方等混合运算． ● 体会小学数学里的四则混合运算顺序同样适用于有 理数． 　 J 知识点一　有理数的混合运算   > M 三级运算 加法和减法叫做第一级 运算;乘法和除法叫做第二级运算;乘 方和开方(今后将会学到)叫做第三级 运算． 混合运算 算式３２－５０÷２２× １ １０＋１ 中,含有加、 减、乘、除、乘方等多种运算,称为有理 数的混合运算． 有理数混合运算的运算顺序 (１)先算乘方,再算乘除,最后算加减; (２)同级运算,按照从左至右的顺序 进行; (３)如果有括号,就先算小括号里的, 再算中括号里的,最后算大括号里的． (１)注意分清运算符号与性质符号 在一个算式中,“－”号有双重意义:一 是表示性质,如负数、相反数;二是运 算符号,表示减号,所以要根据具体情 况去正确理解．“＋”号也是一样．因此, 在具体运算中,要特别注意区别运算 符号与性质符号,尤其是“－”号问题, 千万不能大意． (２)注 意 不 能 忽 视 括 号 在 算 式 中 的 作用 在有理数的混合运算中,时常会出现 各种括号,这些括号的出现,给运算增 添了难度,不过只要我们能分清每一 种括号在运算中的作用,将括号里面 的式子看作一个整体,计算起来就简 便多了． ６８ 含乘除的混合运算 【例１】计算: (１)１１＋(－２２)－３×(－１１); (２)( －１０ １ ８) ÷２ １ ４× (１－ ５ ９) ． 解:(１)原式＝１１＋(－２２)＋３３＝２２． (２)原式＝－ ８１ ８÷ ９ ４× ４ ９ ＝－ ８１ ８× ４ ９× ４ ９ ＝－２． 4 只含有乘除运算时,要按从左到 右的顺序进行;含有括号的乘除运算, 应先算括号里面的,再算乘除．进行分 数的乘除运算时,一般要把带分数化 为假分数,把除法转化为乘法． 含乘方的混合运算 【例２】计算: －１６－(１－０．５)２× １ ５× [２＋(－３)３]． 解:－１６－(１－０．５)２× １ ５× [２＋(－３)３] ＝－１－ １ ４× １ ５× (２－２７) ＝－１＋ １ ２０×２５ ＝ １ ４． 4 含乘方的有理数的混合运算,要先 算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号 的先算括号里面的． 知识点二　有理数的运算律 运算律在混合运算中的应用 (１)在进行混合运算时,要灵活运用运 算律,使运算简便． (２)有理数的加法有加法交换律、加法 结合律;乘法有乘法交换律、乘法结合 律和分配律． 【例３】计算: －６０× ( － １ ５＋ １ ２－ １ １２＋ １ ６) ＋ (－２２)． 解:原式＝－６０× ( － １ ５) ＋ (－６０)× １ ２＋ (－６０)× ( － １ １２) ＋ (－６０)× １ ６＋ (－４) ＝１２－３０＋５－１０－４ ＝－２７． 4 有理数混合运算中的常见技巧 (１)巧逆用:逆用分配律; (２)巧拆分:先将一个数拆分成两个数 的和或差,再借助分配律计算; (３)巧分解:将一个数分解成几个因数 的积; (４)巧分段:借助混合运算中的加减号 或括号分段计算; (５)巧转化:减法转化为加法,除法转 化为乘法． ７８ 类型一　有理数的有关概念在 混合运算中的应用 【题根１】已知a,b互为相反数,c,d 互为 倒数,x 的绝对值等于２,试求x２－ (a＋b＋cd)x＋(a＋b)６２５＋(－cd)６２５ 的值． 审题关键:解决此类问题的关键是明 确相反数、倒数、绝对值的意义． 解:因为a,b互为相反数, 所以a＋b＝０． 因为c,d 互为倒数, 所以cd＝１． 所以原 式 ＝x２ － (０＋１)x＋０６２５ ＋ (－１)６２５＝x２－x－１． 又因为x 的绝对值等于２, 所以x＝２或x＝－２． (１)当x＝２时,原式＝２２－２－１＝１; (２)当x＝－２时,原式 ＝(－２)２－ (－２)－１＝４＋２－１＝５． 综上,所求的值为１或５． １．已知有理数n 等于它本身的倒数,有理 数m 等于它本身的相反数,求m１１３１＋ n１１３０的值． 类型二　关于有理数混合运算 的开放题 【题根２】给出１~１３之间的自然数,从中 任取 四 个,利 用 运 算 符 号 “＋”“－” “×”或“÷”将这四个数(四个数都用 且只能用一次)连接起来,可加括号, 运算符号可重复使用,使其结果等于 ２４．例如,对１,２,３,４可作运算(１＋２＋ ３)×４＝２４,也可以写成４×(２＋３＋ １),但将它们视作相同的运算． 现有四个有理数３,４,－６,１０,你能运 用上述规则写出三个不同的算式,使 其结果等于２４吗? 审题关键:此类问题的本质是几个有 理数的混合运算,可从最简单的加 减法入手