2.11 有理数的乘方-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（华东师大版)

２．１１　有理数的乘方


● 理解乘方、幂、底数、指数等概念,了解乘方概念的产生 过程． ● 掌握乘方与幂的表示方法,理解幂的符号法则． ● 掌握有理数乘方的运算． ● 会应用有理数乘方的运算方法探究规律． ● 了解有理数乘方的实际应用． 　 J 知识点一　有理数的乘方 填空 a􀅰a＝a２,a􀅰a􀅰a＝a３． 当a＝２时,２×２＝２２,２×２×２＝２３; 当a＝－２时,(－２)×(－２)＝(－２)２, (－２)×(－２)×(－２)＝(－２)３． 归纳 n 个相同的因数a 相乘: a􀅰a􀅰􀆺􀅰a 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 n个 ＝an． 乘方的有关概念 (１)求几个相同因数的积的运算叫做 乘方,乘方的结果叫做幂． (２)一般地,n 个相同的因数a 相乘: a􀅰a􀅰􀆺􀅰a 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 n个 ,记作an． (３)在an 中,a 叫做底数,n 叫做指数, an 叫做幂． 乘方的表示 乘方的读法 an 读作a 的n 次方,an 看作是a 的n 次方的结果时,也可读作a 的n 次幂． 书写乘方时的注意事项 (１)一个数可以看作这个数本身的一 次方,如５就是５１,指数１通常省略 不写． (２)当底数是负数或分数时,一定要添 上括 号,以 体 现 底 数 的 整 体 性,如 ( ３ ２ ) ２ 不能写成 ３２ ２ ,(－５)２ 不能写成 －５２． ７７ (－a)n 与－an 的区别 　　　(－a)n 表示n 个－a 相乘,底 数是－a,指数是n,读作负a 的n 次 方;－an 表示n 个a 相乘的积的相 反数,底数是a,指数是n,读作a 的 n 次方的相反数． 【例１】计算: (１)( － １ ２) ３;　(２)(－１)５;　(３)－ ２２ ５． 解:(１)( － １ ２) ３ ＝ ( － １ ２) × ( － １ ２) × ( － １ ２) ＝－ ( １ ２× １ ２× １ ２) ＝－ １ ８． (２)(－１)５ ＝(－１)×(－１)×(－１)×(－１)×(－１) ＝－(１×１×１×１×１) ＝－１． (３)－ ２２ ５＝－ ２×２ ５ ＝－ ４ ５． 4 分清乘方运算中的底数和指数, 将乘方运算转化为乘法运算． 知识点二　乘方的符号法则   > M 有理数乘方的符号法则 (１)正数的任何次幂都是 正数; (２)负数的奇次幂是负数,负数的偶次 幂是正数． 乘方的性质 (１)１的任何次幂都等于１． (２)若两个数互为相反数,则它们的偶 次幂 相 等,奇 次 幂 互 为 相 反 数,如 (－４)６＝４６,(－４)３＝－４３． (３)乘方运算与乘除运算一样,要先确 定符号,再计算绝对值． (４)注意(－a)２n ＝a２n,(－a)２n＋１＝ －a２n＋１(n 是正整数)．由乘方的符号 法则可知,a２n≥０,即任何有理数的偶 次幂都是非负数． 【例２】计算:(１)(－５)４;　(２)－５４; (３)( － ２ ３) ３;　(４)－ ２３ ３ ;　(５)(－１)１００． 审题关键:对于有理数的乘方运算,首 先用符号法则确定符号,然后计算 绝对值．幂的绝对值等于底数绝对值 的乘方． ８７ 解:(１)(－５)４ ＝＋(５×５×５×５) ＝６２５． (２)－５４＝－(５×５×５×５)＝－６２５． (３)( － ２ ３) ３ ＝－ ( ２ ３× ２ ３× ２ ３) ＝－ ８ ２７． (４)－ ２３ ３＝－ ２×２×２ ３ ＝－ ８ ３． (５)(－１)１００＝１． 4 １的任何次幂都等于１,－１的奇 次幂为－１,－１的偶次幂为１． 类型一　有理数的乘方运算 【题根１】计算:(－３)３× ( － １ ３) ４ ． 审题关键:解决此类问题的关键是掌 握有理数乘方的符号法则． 解:(－３)３× ( － １ ３) ４ ＝－２７× １ ８１＝－ １ ３． １．(湖南湘西州中考)计算:( － １ ２ ) ２ ＝ 　　　　． ２．计算:－(－２)３． 类型二　有理数乘方的综合应用 【题根２】若x,y 为有理数,且(５－x)４＋ |y＋５|＝０,则 ( x y ) ２３３ 的值为 (　　) A．１ B．－１ C．２ D．－２ 审题关键:任何有理数的偶次幂都是 非负数,任何有理数的绝对值也都 是非负数．若几个非负数的和为零, 则这几个数都等于零． 解析:因为(５－x)４ 和|y＋５|都是非 负数,且(５－x)４＋|y＋５|＝０,所以由 非 负 数 的 性 质,得 (５－x)４ ＝０, |y＋５|＝０,即５－x＝０,y＋５＝０．解 得 x ＝５,y ＝ －５．所 以 ( x y ) ２３３ ＝ ( ５ －５) ２３３ ＝(－１)２３３＝－１．故选B． 答案:B ３．若|a＋１|＝－(b－２