专题12 函数的概念和图象（八大题型）-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

专题12 函数的概念和图象 【题型归纳目录】 题型一：函数的概念 题型二：给出解析式求函数的定义域 题型三：抽象函数求定义域 题型四：给出函数定义域求参数范围 题型五：同一函数的判断 题型六：给出自变量求函数值 题型七：求函数的值域 题型八：函数的图象 【知识点梳理】 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点二：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点三：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 【典例例题】 题型一：函数的概念 例1．（2023·高一课时练习）下列变量间的关系是函数关系的是（　　） A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程 B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C．正方形的面积S与其边长a之间的关系 D．光照时间和苹果的亩产量 例2．（2023·高一课时练习）下列各变量间不存在依赖关系的是（　　） A．扇形的圆心角与它的面积 B．某人的体重与其饮食情况 C．水稻的亩产量与施肥量 D．某人的衣着价格与视力 例3．（2023·上海·高一专题练习）下列等量关系中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（2023·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，下列对应关系中从到的函数为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·河南·高一校考阶段练习）下列图象中，表示函数关系的是（    ） A． B． C． D． 题型二：给出解析式求函数的定义域 例4．（2023·安徽马鞍山·高一安徽工业大学附属中学校考期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·四川阿坝·高一校考期中）函数y＝的定义域是（    ） A．[－1，7] B．[－1，7) C．(－1，7] D．(－∞，－1]∪[7，+∞) 例6．（2023·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023·四川巴中·高一校考期中）函数的定义域为（