专题一 相交线、平行线（讲义）-2023年数学人教版七年级升八年级暑假培优专题训练

数学七年级下暑假培优专题训练 专题一、相交线、平行线 【专题导航】 目录 【考点一 对顶角邻补角的判断】............................................1 【考点二 垂线的性质】....................................................5 【考点三 三线八角】.....................................................7 【考点四 平行线】.......................................................10 【聚焦考点1】 知识点一、相交线 直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。 1.对顶角的概念：①两个角有公共顶点；②两个角的边互为反向延长线 2.邻补角的概念 ①两个角有公共顶点; ② 有一条公共边;③另一边互为反向延长线 3.对顶角的性质：对顶角相等 4.邻补角的性质：邻补角互补 【典例剖析1】 【考点一 对顶角邻补角的判断】 【典例1-1】当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为（    ） A．14° B．16° C．18° D．25° 【典例1-2】如图，是一座正八边形古塔，某数学兴趣小组的同学想知道这个正八边形古塔的一个内角的度数，在不能进入塔内测量的情况下，设计了如图所示的测量方案：①反向延长正八边形内角∠AOB的两边，得到∠COD；②测量∠COD的度数．则∠COD的度数即为正八边形古塔内角∠AOB的度数．其中的数学原理是（    ） A．邻补角互补 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．内错角相等 【典例1-3】（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？ （2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？ 针对训练1 【变式1-1】如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=∠AOD． (1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数； (2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB， ①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）； ②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． (3)如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系． 【变式1-2】如图，直线AB、EF相交于点D，∠ADC=90°． （1）∠2的余角有 　 ； 　 ，理由是 ； （2）若∠1与∠2的度数之比为1:3，求∠CDF的度数，请完成填空： 设∠1的度数为，所以∠2= °（用表示），因为∠ADC=90°，所以∠1+∠2= °（用表示）=90°．所以∠1= °，所以∠2= °，所以∠CDF= °． 【变式1-3】如图，直线相交于点O，，平分，． (1)当时，求的度数（填空完成下列说理过程）； 解：  （已知） ________ ________（邻补角定义） ________ 平分（已知） ________  （________） ________ (2)当________时，（直接填空）． 【变式1-4】如图，已知DE//BF，AC平分∠BAE，，那么∠ACF的度数是多少？（完成以下说理过程） 解：因为（________），（已知）， 所以∠BAE＝________（等式性质）． 又因为AC平分∠BAE（已知）， 所以（_______）， 所以（等式性质）． 【变式1-5】（1）如图1，点B在直线AC上，∠ABD90°，BE平分∠ABD．试说明∠CBD2∠DBE． （2）如图2，点B在直线AC上，∠EBD90°，BF平分∠ABD，试说明∠CBD2∠EBF． （3）如图3，点B在直线AC上，∠EBD90°，BF平分∠ABD，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，写出你发现的结论，并说明理由；如果成立，也请说明理由． 【聚焦考点2】 知识点二 1.垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，如下图，AB⊥CD，垂足为点O。 2.垂线的基本性质： ① 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段