24.5 三角形的内切圆-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（沪科版)

２４．５　三角形的内切圆 　 'F 一个三角形有唯一的一个 内切圆,而一个圆有无数多 个外切三角形． 知识点一　三角形内切圆的概念及画法 三角形的内切圆与圆的外切三角形 名称 定义 图示 三角形的 内切圆 与三角形三边都 相切的圆 三角形的 内心 内切圆的圆心 圆的外切 三角形 三边都与圆相切 的三角形 三角形内切圆的作法 作三角形的两条角平分线,设交点为I,以点I 为圆 心,点I到三角形任一条边的距离为半径作圆,则☉I 就是该三角形的内切圆． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　注意:在讨论三角形与圆的位置关系时,三角形 各顶点都在圆上叫做“接”,三角形各边都与圆相 切叫做“切”． 【例１】已知:△ABC． 求作:一个圆,使它和△ABC 中三边都相切． 解:作法: (１)作△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线BE,CF, 设它们交于点I; (２)过点I作ID⊥BC 于点D; (３)以点I为圆心、ID 为半径作☉I,则☉I 即为所求, 如图２４．５Ｇ１所示． ８７ 图２４．５Ｇ１ 4 作内切圆,确定圆心很关键 作一个三角形的内切圆,关键是确定圆心,作出 三角形的两条角平分线,交点即圆心． 知识点二　三角形内心的性质 三角形内心的性质 三角形的内心到三角形的三边距离相等． 三角形的内心与外心的关系 图形 名称 性质 位置 角度关系 外心 (三 角 形的外接圆 圆 心,即 三 角形三边中 垂 线 的 交 点) 三角形的外 心到三角形 的三个顶点 距离相等 外心 不一 定在 三角 形内 ∠BOC＝ ２∠A 内心 (三 角 形的内切圆 圆 心,即 三 角形三条角 平分线的交 点) 三角形的内 心到三角形 的三边距离 相等 内心 一定 在三 角形 内 ∠BOC＝ ９０°＋ １ ２∠A 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　注意:说明两个图形间的位置关系时,“内”“外” 是相对而言的,如“圆的外切三角形”是以圆为基 准,三角形在圆的外部． 　  (１)等边三角形的内心到顶 点的距离等于内切圆半径 的２倍． (２)若△ABC 的三边长为 a,b,c,内切圆半径为r,则 S△ABC＝ １ ２ (a＋b＋c)􀅰r． (３)若 Rt△ABC 的两条直 角边长分别为a,b,斜边长 为c,则 Rt△ABC 的内切 圆 半 径 r ＝ a＋b－c ２ ＝ ab a＋b＋c． ９７ 　 % 若点O 为△ABC 的内心, 则点O 与两顶点连接的夹 角和另一角存在如下关系: ∠BOC ＝９０°＋ １ ２ ∠A , ∠AOC ＝ ９０°＋ １ ２ ∠B , ∠AOB＝９０°＋ １ ２∠C． 在选择题和填空题中使用 此结论能使求解更方便． 'F (１)两圆位置关系的五种情 况也 可 归 纳 为 三 类:相 离 (外离和内含);相交;相切 (外切和内切)． (２)两圆外离与内含时,两 圆都没有公共点,但同时要 考虑内部和外部的因素．两 圆外切与内切也有这样的 比较． 【例２】如图２４．５Ｇ２,在△ABC 中,∠BAC＝４０°,点P 是 △ABC 的内心,则∠BPC＝ (　　) 图２４．５Ｇ２ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．８０° B．１１０° C．１３０° D．１４０° 解析:在△ABC 中,因为点P 是△ABC 的内心, 所以∠BPC＝１８０°－(∠PBC＋∠PCB) ＝１８０°－ １ ２ (∠ABC＋∠ACB) ＝１８０°－ １ ２ (１８０°－∠A) ＝９０°＋ １ ２∠A ＝１１０°． 答案:B 知识点三　圆与圆的位置关系(拓展) 位置 关系 图示(r２＞r１) 公共点个数 数量关系及识别方法 外离 无 d＞r１＋r２ 外切 一个切点 d＝r１＋r２ 相交 两个交点 r２－r１＜d＜r２＋r１ ０８ 续表 位置 关系 图