24.4 直线与圆的位置关系-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（沪科版)

２４．４　直线与圆的位置关系 　 'F (１)圆心到直线的距离是指 过圆心向直线所作的垂线 段的长度,这个距离是点到 直线的距离． (２)直线与圆相切是指直线 与圆有且只有一个公共点, 这与直线与圆有一个公共 点的含义不同． (３)圆 心 到 直 线 的 距 离 d 和半径r 的数量关系与直 线和圆的位置关系可以互 相转 换,体 现 了 数 形 结 合 思想． 知识点一　直线与圆的位置关系 直线与圆的位 置关系 相交 相切 相离 定义 直线与圆有两 个公共点,直 线与圆的位置 关系是相交 直线与圆只有 一个公 共 点, 直线与圆的位 置关系是相切 直线与圆没有 公共点,直线 与圆的位置关 系是相离 图示 公共点个数 ２ １ ０ 圆心到直线的 距离d 与半径 r的关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 总结 直线l与☉O 相交⇔d＜r 直线l与☉O 相切⇔d＝r 直线l与☉O 相离⇔d＞r 【例１】在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝６cm,BC＝ ８cm,以点C 为圆心,下列r为半径的☉C 与直线AB 有怎样的位置关系? 为什么? (１)r＝４cm;　(２)r＝４．８cm;　(３)r＝５cm． 解:如图２４．４Ｇ１,作CD⊥AB,垂足为D． ０６ 由勾股定理,得AB＝１０cm． 图２４．４Ｇ１ 由三角形的面积公式,得１ ２BC 􀅰AC＝ １ ２AB 􀅰CD, 即 １ ２×８×６＝ １ ２×１０×CD , 解得CD＝４．８cm． (１)当r＝４cm 时,CD＞r,直线AB 与☉C 相离． (２)当r＝４．８cm 时,CD＝r,直线AB 与☉C 相切． (３)当r＝５cm 时,CD＜r,直线AB 与☉C 相交． 知识点二　切线的性质 切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图２４．４Ｇ２． 图２４．４Ｇ２ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　注意:圆的切线垂直于过切点的半径,而不是垂 直于圆的任意一条半径． 【例２】如图２４．４Ｇ３,AB 是☉O 的直径,点C 在AB 的 延长线上,CD 与☉O 相切于点D,若∠C＝４０°,则 ∠CDA 的度数是 (　　) 图２４．４Ｇ３ A．１１０°　　　B．１１５°　　　C．１２０°　　　D．１２５° 　 % 判断直线与圆的位置 关系的两种方法 (１)根据直线与圆公共点的 个数判断; (２)根据圆心到直线的距离 与半径的大小关系判断．  圆的切线的性质 (１)圆的切线与圆有且只有 一个公共点; (２)圆心到切线的距离等于 圆的半径; (３)经过圆心且垂直于切线 的直线必经过切点; (４)经过圆的切点且垂直于 切线的直线必经过其圆心． １６ 　 图２４．４Ｇ４ 'F (１)切线的判定定理中两个 条件“经过半径外端点”和 “垂 直 于 这 条 半 径”缺 一 不可． (２)过圆上一点可以作圆的 一条切线,过圆外一点可以 作圆的两条切线,过圆内一 点不能作圆的切线． 解析:连接OD,如图２４．４Ｇ４． 因为CD 与☉O 相切于点D,所以OD⊥CD, 所以∠ODC＝９０°, 所以∠COD＝９０°－∠C＝９０°－４０°＝５０°． 因为OA＝OD, 所以∠A＝∠ODA． 又因为∠COD＝∠A＋∠ODA, 所以∠ODA＝ １ ２∠COD＝２５° , 所以∠CDA＝∠ODC＋∠ODA＝９０°＋２５°＝１１５°． 答案:B 4 切线性质的用法 　　运用切线的性质进行证明和计算时,一般先连接 切点与圆心,再根据切线的性质转化已知条件,进而 解决问题． 知识点三　切线的判定及作法 切线的判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线． 切线的作法 (１)过圆上一点作圆的切线时,只要连接该点与圆心, 再过这点作与半径垂直的直线即可; (２)过圆外一点作切线,先连接该点与圆心,以所连线 段为直径作圆,与已知圆有两个交点,再连接交点与 圆外的点得两条线段,则这两条线段所在直线即已知 圆的两条切线． 图２４．４Ｇ５ 【例３】如图２４．４Ｇ５所示,在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,点O 在AB 上,以O 为圆心,OA 长为半径的圆与AC, AB 分别交于点D,E,且∠CBD＝ ∠A．求证:BD 与☉O 相切． ２６ 证明:连接OD,如图２４．４Ｇ６． 图２４．４Ｇ６ 因为OA＝OD,