24.3 圆周角-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（沪科版)

２４．３　圆周角 　 @ @ 判断圆周角, 关键看两点． 顶点在圆上, 两边与圆交． 缺一都不可, 一定要记牢． % 圆心角和圆周角的 区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶 点 在 圆心 顶 点 在 圆上 在 同 圆 中,一 条 弧所对的 圆心角是 唯一的 在 同 圆 中,一 条 弧所对的 圆周角有 无数个 联 系 两边都与圆相交 知识点一　圆周角的概念 一个角是圆周角必须具备两个条件: (１)角的顶点在圆上． (２)角的两边都与圆相交． 可用图２４．３Ｇ１表示． 图２４．３Ｇ１ 【例１】下列图形中的角为圆周角的是 (　　) 　　　 　　A　　　　　B　 　　 　C　　 　 　D 解析:A,B项中,角的顶点不在圆上,故不是圆周角;C项 中,角只有一边与圆相交,故不是圆周角;D项中,角的 顶点在圆上,两边都与圆相交,是圆周角． 答案:D 4 利用条件巧判断 　　判断一个角是不是圆周角,关键是利用圆周角必 须具备的两个条件,通过这两个条件判断角是不是圆 周角． ４４ 知识点二　圆周角定理及其推论 定理 圆心在角的一边上 圆心在角的内部 圆心在角的外部 图示 O A B C 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 几何 语言 ∠BAC＝ １ ２∠BOC 推论 推论１ 推论２ 文字 叙述 在同圆或等圆中,同弧或 等弧所对的圆周角相等, 相等的圆周角所对的弧也 相等 半圆或直径所对的圆周角 是直角;９０°的圆周角所对 的弦是直径 几何 语言 因为BD︵＝BD︵, 所以∠１＝∠２; 又因 为 DE︵ ＝BD︵,所 以 ∠１＝∠２＝∠３．反之也成立 因为AB 是直径, 所以∠C＝９０°; 因为∠C＝９０°,所以AB 是 直径 图示 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:推论１中,“同弧或等弧所对的圆周角相 等”前面可以没有限制条件“在同圆或等圆中”, 但“相等的圆周角所对的弧也相等”前面必须加 上条件“在同圆或等圆中”才成立． 　  'F (１)圆周角定理中的圆周角 与圆心角是通过它们所对 的同一条弧联系在一起的, 故不能把“一条弧所对的” 去掉． (２)同一条弧所对的圆周角 有无数个,它们都相等,但 注意不要误以为同一条弦 所对的圆周角也相等,因为 一条弦(非直径)所对的圆 周角有两类,它们是相等或 互补的关系． ５４ 　 'F 一个圆肯定有内接多边形, 一个三角形也肯定有外接 圆,但一个边数大于３的多 边形不一定有外接圆． 【例２】(１)(四川巴中中考)如图２４．３Ｇ２,∠A 是☉O 的圆 周角,∠OBC＝５５°,则∠A＝　　　　． 图２４．３Ｇ２　　　　　　图２４．３Ｇ３ (２)(山东青岛中考)如图２４．３Ｇ３,AB 是☉O 的直径, C,D 是☉O 上的两点,若∠BCD＝２８°,则∠ABD＝ 　　　　． 解析:(１)因为 OB＝OC,∠OBC＝５５°,所 以 ∠OCB＝ ５５°,所以∠BOC＝１８０°－５５°－５５°＝７０°．由圆周角定 理,得∠A＝ １ ２∠BOC＝３５°． (２)因为 AB 是☉O 的直径,所以∠ACB＝９０°．因为 ∠BCD＝２８°,所以∠ACD＝６２°．由圆 周 角 定 理 的 推 论,得∠ABD＝∠ACD＝６２°． 答案:(１)３５°　(２)６２° 4 巧用圆周角定理及其推论解决两类问题 (１)解决与圆有关的角度计算时,一般先判断角是圆 周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心 角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角 是圆心角的一半等关系求解． (２)在圆中有直径,即可添加辅助线构造直径所对的 圆周角,这是在圆中添加辅助线的一种常用方法． 知识点三　圆的内接多边形及 圆内接四边形的性质定理 圆的内接多边形的定义 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形 叫做圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外 接圆． ６４ 圆内接四边形的性质定理 圆内接四边形的对角互补,且任何一个外角都等于 它的内对角．如图２４．３Ｇ４所示． 图２４．３Ｇ４ 【例３】(湖南岳阳中考)如图２４．３Ｇ５,四边形ABCD 为 ☉O 的内接四边形,已知∠BCD＝１１０°,则∠BAD＝ 　　　　． 图２４．３Ｇ５ 解析:因为四边形 ABCD 为☉O 的