第05讲 充要条件（3种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

第05讲 充要条件（3种题型） 【知识梳理】 一、充分条件与必要条件 充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：. 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. 要点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到. ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达. 二、充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 三、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 要点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题 【考点剖析】 题型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定 例1. “x<－1”是“x2－1>0”的________条件． 【变式1】（2022·江苏·高一单元测试）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（       ） A．①② B．③④ C．②③ D．②③④ 【变式2】（2022·宁夏银川·高一期末）已知，，则“使得”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3】（多选）已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（       ） A．“xy>0”是“”的充要条件 B．“x>y”是“”的充要条件 C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件 【变式4】在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)． （1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件； （4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件． 例2.设条件甲为“”， 条件乙为“”那么甲是乙的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 【变式1】已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【变式2】下列各小题中，是的什么条件？（在“充分非必要条件”，“必要非充分条件”，“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种） (1) :，:或； (2) :， :或； （3）:，:关于的方程有实数根. 【变式3】判断下列每小问中，p是q的什么条件（直接写出结论即可）： （Ⅰ），； （Ⅱ）p：关于x的方程有两个不相等的实根，； （Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等，q：四边形是矩形； （Ⅳ）p：两个三角形的三个角分别对应相等，q：两个三角形全等； （Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径． 题型二：充要条件的探求与证明 例3. 设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 【变式1】已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件. 【变式3】证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 【变式4】已知a≥1，