课时分层作业55 圆锥曲线中的证明、探索性问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(五十五)　圆锥曲线中的证明、探索性问题 1．(2022·湖南雅礼中学期末)已知抛物线C：y2＝4x，点F为C的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)设A，B在C的准线上的射影分别为P，Q，线段PQ的中点为R，证明：AR∥FQ； (2)在x轴上是否存在一点T，使得直线AT，BT的斜率之和为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1，0)， 故可设直线l的方程为x＝my＋1， 由得y2－4my－4＝0， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 由题意可知P(－1，y1)，Q(－1，y2)，R， 则kAR＝＝，kFQ＝＝－. 因为kAR－kFQ＝－＝＝＝＝＝0， 所以kAR＝kFQ，故AR∥FQ. (2)假设存在点T(a，0)满足题意，设直线AT，BT的斜率分别为k1，k2. k1＝＝，k2＝＝， 则k1＋k2＝＋＝ ＝. 因为m∈R，且为常数， 所以a＋1＝0，即a＝－1， 故存在点T(－1，0)满足题意． 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，点F(1，0)为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线l1交椭圆于M，N两点，当l1与x轴垂直时，|MN|＝3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，直线A1M，A2N分别与直线l2：x＝1交于P，Q两点，证明：四边形OPA2Q为菱形． [解]　(1)由题可知c＝1. 当l1与x轴垂直时，M的坐标为， 所以，解得a＝2，b＝. 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明：设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立得消去x，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 易知Δ＞0恒成立，y1＋y2＝，y1y2＝， 由直线A1M的斜率为kA1M＝，得直线A1M的方程为y＝(x＋2)， 当x＝1时，yP＝， 由直线A2N的斜率为kA2N＝， 得直线A2N的方程为y＝(x－2)， 当x＝1时，yQ＝， 若四边形OPA2Q为菱形，则对角线相互垂直且平分， 下面证yQ＋yP＝0， 因为yQ＋yP＝＋ ＝ ＝， 又2my1y2－3(y1＋y2)＝2m·－3＝＝0， 所以PF＝QF，即PQ与OA2相互垂直平分， 所以四边形OPA2Q为菱形． 3．已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线AB与抛物线的准线l相交于点M，在抛物线C上是否存在点P，使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． [解]　(1)因为F，在抛物线y2＝2px中， 令x＝，可得y＝±p， 所以当直线与x轴垂直时|AB|＝2p＝4，解得p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)不妨设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)， 因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1， 所以M. 联立消去x，得y2－4my－4＝0， Δ＝16m2＋16>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 若存在定点P(x0，y0)满足条件，则2kPM＝kPA＋kPB， 即2×＝＋， 因为点P，A，B均在抛物线上， 所以x0＝，x1＝，x2＝. 代入化简可得 ＝， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4代入整理可得 ＝，即(m2＋1)(y－4)＝0， 因为上式对∀m≠0恒成立，所以y－4＝0， 解得y0＝±2， 将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1， 所以在抛物线C上存在点P(1，±2)，使直线PA，PM，PB的斜率成等差数列． 4．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|. [解]　(1)由题意可得＝，＝2，故a＝1，b＝.因此C的方程为x2－＝1. (2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以3－k2<0，所以x1－x2＝ ＝. 设点M的坐标为(xM，yM)， 则 两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，而y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)， 故2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，解得xM＝. 两式相加