课时分层作业54 圆锥曲线中的范围、最值问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(五十四)　圆锥曲线中的范围、最值问题 1．(2022·湖南长沙模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于P，Q两点，且当l垂直于x轴时，|PQ|＝6. (1)求双曲线的方程； (2)过点F且垂直于l的直线l′与双曲线交于M，N两点，求·＋·的取值范围． [解]　(1)依题意，c＝2a，当l垂直于x轴时，|PQ|＝＝6， 即b2＝3a，即c2－a2＝3a， 解得a＝1，b＝，因此双曲线的方程为x2－＝1. (2)设lPQ：x＝my＋2，联立双曲线方程x2－＝1， 得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0， 当m＝0时，P(2，3)，Q(2，－3)，M(－1，0)，N(1，0)， ·＋·＝－12. 当m≠0时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)， N(x4，y4)， 因为直线PQ与双曲线右支相交， 因此y1y2＝＜0，即m∈∪， 同理可得y3y4＝， 依题意·＝(＋)·(＋)＝·＋·， 同理可得，·＝(＋)·(＋)＝·＋·， 而·＋·＝(1＋m2)y1y2＋y3y4， 代入y1y2＝，y3y4＝， ·＋·＝＋＝＝－， 分离参数得，·＋·＝－6－， 因为m∈∪， 当m2∈时，m2＋∈， ·＋·＝－6－∈(－∞，－6)， 所以·＋·＝2(·＋·)∈(－∞，－12)， 综上可知，·＋·的取值范围为(－∞，－12]. 2．(2021·北京高考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点P(0，－3)的直线l的斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB、AC交y＝－3于点M、N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围． [解]　(1)因为椭圆E过点A(0，－2)，所以b＝2. 以四个顶点围成的四边形面积为4，故×2a×2b＝2ab＝4. 联立解得 故椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)由题意可得，直线l的斜率存在，且直线l的方程为y＝kx－3，设B(x1，y1)，C(x2，y2). 联立消去y整理得 (5k2＋4)x2－30kx＋25＝0， Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)＞0，故k＞1或k＜－1. 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－＝，x1x2＝， 进而可得 y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－， y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝. 直线AB的方程为y＋2＝x， 令y＝－3，则x＝－，故点M. 直线AC的方程为y＋2＝x， 令y＝－3，则x＝－，故点N. |PM|＋|PN|＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝|5k|≤15， 即|k|≤3，解得－3≤k≤3. 综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3]. 3．椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)经过点E(1，1)且离心率为，直线l与椭圆C1交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点． (1)求椭圆C1的方程； (2)若过原点的直线m与椭圆C1交于C，D两点，且＝t(＋)，求四边形ABCD面积的最大值． [解]　(1)因为椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)经过点E(1，1)，所以＋＝1， 椭圆的离心率为，则a2＝2c2，即a2＝2b2， 即＋＝1，解得a2＝3，b2＝， 所以椭圆C1的方程为＋＝1. (2)当直线AB的斜率不存在时，设以AB为直径的圆的圆心为(t，0)，则(x－t)2＋y2＝t2， 不妨取A(t，t)，故＋＝1，解得t＝±1. 故AB的方程为x＝±1， 直线CD过AB中点，即为x轴， 得|AB|＝2，|CD|＝2， 故SACBD＝|AB|·|CD|＝2. 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立，可得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－3＝0， 则Δ＝4(6k2－2m2＋3)＞0，① x1＋x2＝－，② x1x2＝ ，③ 以AB为直径的圆过原点即 ·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 化简可得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0， 将②③两式代入，整理得 (k2＋1)(2m2－3)＋km(－4km)＋m2(2k2＋1)＝0， 即m2＝k2＋1，④ 将④式代入①式，得Δ＝4(4k2＋1)＞0恒成立，则k∈R. 设线段AB中点为M，由＝t(＋)＝2t， 不妨设t＞0，得SACBD＝2SOACB＝4tS△OAB， 又因为S△OAB＝|m||x1－x2|＝|m|， 所以SACBD＝4t|m|， 又由＝t(＋)，则C点坐标为 (t(x1＋x2)，t(y1＋y2))， 化简得 代入椭圆方程可得＝3，即t＝， 则SACBD＝4tS△OAB＝4|m| ＝