课时分层作业53 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(五十三)　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 1．(2022·石家庄二中模拟)已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． [解]　(1)将P点坐标代入抛物线方程y2＝2px，得4＝2p，即p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)证明：设AB：x＝my＋t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2－4my－4t＝0， Δ>0⇒16m2＋16t>0⇒m2＋t>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t， kPA＝＝＝， 同理kPB＝， 由题意知＋＝2， 即4(y1＋y2＋4)＝2(y1y2＋2y1＋2y2＋4)， 解得t＝－1， 故直线AB：x＝my－1恒过定点(－1，0). 2．(2022·湖北孝感模拟)已知F1(－，0)，F2(，0)为双曲线C的焦点，点P(2，－1)在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋＝0，·＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值． [解]　(1)设双曲线C的方程为－＝1，a＞0，b＞0， 由题意知解得 ∴双曲线C的方程为－＝1. (2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立整理得(1－k2)x2－2kmx－m2－3＝0， 则1－k2≠0，Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝， 又P(2，－1)， ∴直线PA的方程为y＝(x－2)－1， 令x＝0，则M，同理N， 由＋＝0，可得＋＝0， ∴＋＝0. ∴[(2k＋1)x1＋2m](2－x2)＋[(2k＋1)x2＋2m](2－x1)＝0， ∴(4k＋2－2m)(x1＋x2)－(4k＋2)x1x2＋8m＝0， ∴(4k－2m＋2)·－(4k＋2)＋8m＝0， ∴(2k－m＋1)·2km＋(2k＋1)(m2＋3)＋4m(1－k2)＝0， ∴4k2m－2km2＋2km＋2km2＋6k＋m2＋3＋4m－4mk2＝0， ∴m2＋(2k＋4)m＋6k＋3＝0，(m＋3)(m＋2k＋1)＝0， 当m＋2k＋1＝0时，m＝－2k－1， 此时直线AB的方程为y＝k(x－2)－1恒过定点P(2，－1)，显然不可能， ∴m＝－3， 直线AB的方程为y＝kx－3恒过定点E(0，－3). ∵·＝0，∴PQ⊥AB，取PE中点T， ∴T(1，－2)，∴|QT|＝|PE|＝为定值， ∴存在T(1，－2)使|QT|为定值. 3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，M，N分别为左右顶点，直线l：x＝ty＋1与椭圆C交于A，B两点，当t＝－时，A是椭圆的上顶点，且△AF1F2的周长为6. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AM，BN交于点Q，证明：点Q在定直线上； (3)设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值． [解]　(1)当t＝－时，直线l：x＝－y＋1，令x＝0，得y＝，即椭圆的上顶点为(0，)，则b＝， 又△AF1F2的周长为6，即2a＋2c＝6，a＋c＝3，又a2－c2＝b2＝3，解得a＝2，c＝1， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：由(1)知，M(－2，0)，N(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，点A，B不在x轴上， 由消去x并整理得：(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，y1＋y2＝－，y1y2＝， 直线AM的方程为y＝(x＋2)， 直线BN的方程为y＝(x－2)， 联立直线AM，BN的方程得 ＝＝＝， 由y1＋y2＝－得y1＝－－y2代入上式，得 ＝＝ ＝＝3， 于是得x＝4，所以直线AM，BN交点Q在定直线x＝4上． (3)证明：由(2)知，＝＝＝， 由y1＋y2＝－，y1y2＝得， ty1y2＝(y1＋y2)， 所以＝＝＝为定值． 4．(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1). (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． [解]　(1)由题设得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3.所以C的方程为＋＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2). 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 于是x1＋x2＝－，x1x2＝.① 由AM⊥AN知·＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.