课时分层作业52 抛物线(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第8课时　抛物线 [考试要求]　 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． 2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合的思想． 1．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R [常用结论] 1．与焦点弦有关的常用结论 如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).则有 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p； (4)焦半径：|AF|＝，|BF|＝， 特别地＋＝； (5)以弦AB为直径的圆与准线相切； (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|OF|·|y1－y2|． 2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线． (　　) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切． (　　) (3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－. (　　) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝x2的准线方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.] 2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　) A． B． C． D．0 B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.] 3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.] 4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________． y2＝－8x或x2＝－y　[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.] 考点一　抛物线的定义及标准方程 　抛物线的定义及应用 [典例1]　(1)(2021·北京高考)已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________． (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． (1)5　4　(2)4　[(1)由题意得点F(1，0)，设点M(x，±2)，则|FM|＝＝6，解得x＝5. 易得点N(5，0)，从而S△FMN＝(xN－xF)·MN＝×4×2＝4. (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.] [拓展变式] 1．若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值． [解]　由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F