课时分层作业51 双曲线(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(五十一)　双曲线 一、选择题 1．(2021·北京高考)双曲线－＝1过点(，)，离心率为2，则双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 A　[双曲线离心率e＝＝2，故c＝2a，b＝a，将点(，)代入双曲线方程，得－＝＝1，故a＝1，b＝，故双曲线方程为x2－＝1.] 2．F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．24 B．15 C．12 D．30 A　[由3|PF1|＝5|PF2|，可得|PF1|＝|PF2|. 又P是双曲线－＝1上的一点，则 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝4，则|PF2|＝6，|PF1|＝10， 又|F1F2|＝8，则|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，则PF2⊥F1F2. 则△PF1F2的面积等于|PF2|·|F1F2|＝×6×8＝24.故选A.] 3．(2022·广东茂名二模)已知双曲线C：－＝1的一条渐近线过点P(1，2)，F为右焦点，|PF|＝b，则焦距为(　　) A．3 B．4 C．5 D．10 D　[由题意可知，双曲线C的渐近线方程为y＝±x， P(1，2)在一条渐近线上，所以＝2，进而可得c＝a， 由|PF|＝b，可得＝b. ∴(1－c)2＋4＝b2，∴1＋c2－2c＋4＝b2＝c2， ∴c2－10c＋25＝0，解得c＝5，∴2c＝10. 故选D.] 4．已知A，B，P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． D　[设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，知 B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝·＝. 因为点A，P在双曲线上， 所以，两式相减， 得＝，所以＝. 所以kPA·kPB＝＝，所以e2＝＝，所以e＝.故选D.] 5．(多选)(2022·河北唐山三模)已知F1，F2为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则(　　) A．－＝2 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x C．双曲线C的离心率为 D．≥2 CD　[双曲线C：－x2＝1的焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2. 对于A选项，＝2a＝2，而P点在哪支上并不确定，故A错误； 对于B选项，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误； 对于C选项，e＝＝＝，故C正确； 对于D选项，设P，则＝＝＝≥(x＝0时取等号)， 因为O为F1F2的中点，所以＝＝2≥2，故D正确． 故选CD.] 6．(多选)(2020·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　) A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x D．若m＝0，n>0，则C是两条直线 ACD　[对于选项A，因为m＞n＞0，所以0＜＜，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，所以该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，因为m＝n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，因为mn＜0，所以该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± x，正确；对于选项D，因为m＝0，n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.] 二、填空题 7．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________． 　[双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0， 不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1， 依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1， 解得m＝或m＝－(舍去).] 8．(2023·湖北武汉高三开学考试)写出一条同时满足下列条件①②的直线l：________． ①经过点(，1)； ②与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点． y＝x－1或y＝x＋1－或y＝－x＋1＋(只需答其中之一即可)　[显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－)， 代入双曲线方程得(1－k2)x2－2k(1－k)x－2＋2k－2k2＝0， 当1－k2＝0，k＝±1，此时直线方程为y－1＝x－或y－1＝－(x－)， 即y＝x＋1－，或y＝－x＋1＋， 当1－k2≠0时，Δ＝4k2(1－k)2－4(1－k2)(－2＋2k－2k2)＝0，所以k1＝k2＝， 此时直线方程为y－1＝(x－)，即y＝x－1.]