课时分层作业50 直线与椭圆(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(五十)　直线与椭圆 一、选择题 1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞) B　[由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0， 由题意可知 解得又m＞0，且m≠3， 所以m＞1且m≠3.故选B.] 2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A． B． C． D． B　[由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立 解得交点坐标为(0，－2)，，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.] 3．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是，那么直线PA2斜率的取值范围是(　　) A． B．　 C． D． A　[由题意，椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则y＝， 又由kPA1·kPA2＝×＝＝－，可得kPA1＝，因为kPA1∈，即－2≤≤－1，可得≤kPA2≤，所以直线PA2斜率的取值范围是.故选A.] 4．(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 B　[由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.] 5．(多选)已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的是(　　) A．y＝2x－3 B．y＝2x＋1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋3 ACD　[由于椭圆C关于原点、x轴、y轴对称． 对于A选项，直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，则椭圆C截直线y＝2x－3所得弦长为7，A选项符合要求； 对于B选项，直线y＝2x＋1与直线l平行，椭圆C截直线y＝2x＋1所得弦长大于7，B选项不符合要求； 对于C选项，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，则椭圆C截直线y＝－2x－3所得弦长为7，C选项符合要求； 对于D选项，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，则椭圆C截直线y＝－2x＋3所得弦长为7，D选项符合要求．故选ACD.] 6．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c.直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　) A．若k≠0，则△ABF2的周长为4a B．若AB的中点为M，则kOM·k＝ C．若AF1·AF2＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝ AC　[直线l：y＝k(x＋c)过点，即弦AB过椭圆的左焦点F1. l△ABF2＝＋＋＝＋＋＋＝4a，所以A正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M， 有kOM＝，k＝， 所以kOM·k＝×＝. 由作差得＋＝0， 所以＝－.则有kOM·k＝＝－， 所以B错误； AF1＝，AF2＝(c－x1，－y1)，所以AF1·AF2＝x－c2＋y＝x＋a2－2c2∈，则有a2－2c2≤3c2≤a2－c2，可得e＝∈，所以C正确；由过焦点的弦中通径最短，则AB的最小值为通径，则有＝3c，即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，所以e＝＝，D错误．故选AC.] 二、填空题 7．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＋＝________． 　[由题意可知F(－1，0)，故l的方程为y＝(x＋1). 由得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－. 设A(0，)，B. 又F(－1，0)，∴|AF|＝2，|BF|＝， ∴＋＝.] 8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率为________． 　[设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝＝.] 9．在平面直角坐标系中