课时分层作业49 椭圆及其性质(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(四十九)　椭圆及其性质 一、选择题 1．下列四个椭圆中，形状最扁的是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1　 C．＋＝1 D．＋＝1 A　[由e＝，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足<<<，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆＋＝1的离心率最大，故其形状最扁．故选A.] 2．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为上顶点，则△AF1F2的面积为(　　) A．6 B．15 C．6 D．3 D　[由椭圆方程＋＝1得A，F1，F2，∴＝2.∴S△AF1F2＝·＝×2×3＝3.故选D.] 3．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若＋的最大值为10，则b的值是(　　) A．2 B． C． D． C　[∵F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点， ∴＋＝6，＋＝6， △AF2B的周长为＋＋＝＋＋＋＝12， 即＋＝12－|AB|， 若最小，则＋最大． 又当AB⊥x轴时，最小，此时＝＝，故12－＝10，解得b＝.故选C.] 4．设F1，F2是椭圆C: ＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| ＝|PQ|，若△PF1F2的面积为b2，则＝(　　) A． B． C． D． B　[由S△PF1F2＝b2·tan ， 得b2＝b2tan ，所以∠F1PF2＝，又＝，所以△F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知PQ⊥x轴，所以＝.故选B.] 5．(多选)(2023·重庆八中模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则(　　) A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是＋＝1 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2 BCD　[设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝得：2a＝＝8，解得a＝4，A错误；显然b＝2，则c＝＝2，离心率e＝＝，B正确；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＋＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确．故选BCD.] 6．(多选)(2023·辽宁丹东模拟)设椭圆C：＋y2＝1的两个焦点分别为F1，F2，上顶点为B，点P在C上，则(　　) A．＝3 B．的最大值＋2 C．·的最大值为5 D．|PB|的最大值为 BC　[由题意知a＝，b＝1，c＝2，＝a＝，故A错误；的最大值为a＋c＝＋2，故B正确；＋≥2⇒2a≥2⇒≥，·≤5，当且仅当＝＝时等号成立，∴·的最大值为5，故C正确；设P(x0，y0)，满足＋y＝1，由题意知，B(0，1)，|PB|＝＝，当y0＝－时，|PB|的最大值为.故D错误．故选BC.] 二、填空题 7．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________． 　[将原方程变形为x2＋＝1.由题意知a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1.所以＝2，所以m＝.] 8．(2019·全国Ⅲ卷)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________． (3，)　[不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得 所以M的坐标为(3，).] 9．已知点P在圆x2＋y2－6y＋8＝0上，点Q在椭圆＋y2＝1上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为________． 　[x2＋y2－6y＋8＝0化简为x2＋(y－3)2＝1，圆心A(0，3).的最大值为5等价于的最大值为4，设Q(x，y)，即x2＋(y－3)2≤16，又＋y2＝1， 化简得到(1－a2)y2－6y＋a2－7≤0(－1≤y≤1). 当y＝－1时，验证等号成立； 对称轴为y＝，满足y＝≤－1，即a≤2，故1<a≤2. ∴e2＝＝＝1－≤，∴e≤. 故离心率的最大值为.] 三、解答题 10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． [解]　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a. 在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，