课时分层作业28 正弦定理、余弦定理的应用举例(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(二十八)　正弦定理、余弦定理的应用举例 一、选择题 1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．50 m　　 B．50 m C．25 m D． m A　[由正弦定理得＝，∵B＝30°， ∴AB＝＝＝50(m).] 2．(2022·四川泸州二模)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)(　　) A．7 350 m B．2 650 m C．3 650 m D．4 650 m B　[如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D， 则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°， 在△ABC中，AB＝50×420＝21 000， 由正弦定理得＝， 则BC＝×sin 15°＝10 500，因为CD⊥AB，所以CD＝BC sin 45°＝10 500(－)×＝10 500≈7 350，所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350 ＝ 2 650 .故选B.] 3．如图，某课外活动小组，为测量山高，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为(　　) A．125 m B．250 m C．500 m D．1 000 m B　[因为∠DAC＝15°，所以∠ADE＝165°，则∠ADB＝360°－165°－75°＝120°. 又因为∠BAD＝30°－15°＝15°，所以∠ABD＝45°. 在△ABD中，由正弦定理，得AB＝＝＝500 m， 在Rt△ABC中，BC＝AB sin 30°＝250 m， 故山的高度约为250 m．故选B.] 4．(2023·江苏海安模拟)设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为(　　) A．50 米 B．50 米 C．50 米 D．50 米 A　[如图，由题可知∠MPM1＝30°，∠NPN1＝45°， ∴PM＝200，PN＝50， 又∠MPN＝45°， ∴MN2＝40 000＋5 000－2×200×50×＝25 000，∴MN＝50 米．故选A.] 5．(多选)(2023·南京师大附中模拟)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　) A．A处与D处之间的距离是24 n mile B．灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C．灯塔C在D处的南偏西30° D．D在灯塔B的北偏西30° ABC　[在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， 则B＝45°，AB＝12. 由正弦定理得AD＝＝＝24，所以A处与D处之间的距离为24 n mile ，故A正确； 在△ADC中，由余弦定理得， CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°， 又AC＝8，解得CD＝8.所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile ，故B正确； ∵AC＝CD＝8， ∴∠CDA＝∠CAD＝30°， ∴灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确； ∵灯塔B在D处的南偏东60°， ∴D在灯塔B的北偏西60°，故D错误．故选ABC.] 6．(多选)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是(　　) A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC ACD　[解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 对于A, 在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用∠ACB，BC解直角△ABC得到AB的值； 对于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，无法解出