课时分层作业27 正弦定理、余弦定理(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(二十七)　正弦定理、余弦定理 一、选择题 1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　 　 B．　　 C．　 D．3 D　[由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B， 得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D.] 2．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　) A． B． C． D． A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3， 所以cos B＝＝， 故选A.] 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　) A． B． C． D． C　[因为S△ABC＝absin C， 所以＝absin C. 由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2ab sin C，即cos C＝sin C，所以tan C＝1. 又因为C∈(0，π)，所以C＝. 故选C.] 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　) A．或 B． C． D． A　[由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc， 则cos A＝＝＝， 因为0<A<π，所以A＝， 由bc＝a2及正弦定理， 得sin B sin C＝sin2A＝×＝， 即4sin(π－C－A)sin C＝， 即4sin (C＋A)sin C＝4sin sin C＝， 整理得cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，又0<2C<，即2C＝或，即C＝或.] 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　　) A．cos C＝ B．sin B＝ C．a＝3 D．S△ABC＝ AD　[因为A＋3C＝π，故B＝2C，根据正弦定理得＝，即2sin C＝3×2sin C cos C. 由于sin C≠0，故cos C＝，sin C＝，所以sin B＝sin 2C＝2sin C cos C＝.又由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，化简得到a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1.若a＝3，则A＝C＝，故B＝，不合题意，因此a＝1.故S△ABC＝ab sin C＝×1×2×＝.故选AD.] 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是(　　) A．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形 B．若cos A>cos B，则sin A<sin B C．若△ABC是锐角三角形，则sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C D．若△ABC是钝角三角形，则tan A tan B＋tan B tan C＋tan C tan A<3 BCD　[对于A，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理得2R sin A cos A＝2R sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B， 则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，在△ABC中，“cos A>cos B”，由余弦函数在(0，π)上是减函数，故有A<B，可得a<b，即有2R sin A<2Rsin B，则“cos A>cos B”可以推出“sin A<sin B”，故B正确； 对于C，∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B>，则A>－B, ∵y＝sin x在上是增函数，sin A>sin ＝cos B， 同理可得sin B>cos C，sin C>cos A， ∴sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C，故C正确； 对于D，不妨设C为钝角，可得tan C<0，tan A>0，tan B>0， 因为tan (A＋B)＝，可得 1－tan A tan B>0，即0<tan A tan B<1， 又tan A tan C<0，tan B tan C<0， 则tan A tan B＋tan B tan C＋tan C tan A<1<3，故D正确．故选BCD.] 二、填空题 7．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________． 4　[在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2ac cos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4.] 8．(2022·浙江高考)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了由三角形三边求面积的公式