课时分层作业24 简单的三角恒等变换(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(二十四)　简单的三角恒等变换 一、选择题 1．已知tan α＝3，则sin 2α等于(　　) A．－　 B．　　 C．－　 D． B　[sin 2α＝2sin αcos α ＝＝＝＝.] 2．(2023·山东枣庄模拟)在平面直角坐标系中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则tan＝(　　) A．－或2 B．2 C．－或3 D．3 B　[由角α的终边经过点，可得 sin α＝＝， cos α＝＝－， 故tan ＝＝＝2. 故选B.] 3．已知cos ＝－，则sin 的值为(　　) A． B．± C．－ D． B　[∵cos ＝－， ∴cos ＝cos ＝－cos ＝，即1－2sin2＝， 即sin2＝， ∴sin＝±.] 4．(2022·山东济宁二模)已知α为锐角，且(－tan 10°)cos α＝1，则α的值为(　　) A．40° B．50° C．70° D．80° B　[由cos α＝1可得cos α＝1，即cos α＝1，所以cos α＝＝＝＝sin 40°＝cos 50°， 又α为锐角，故α＝50°，故选B.] 5．(多选)已知sin α＝－，π＜α＜，则下列选项正确的是(　　) A．sin 2α＝－ B．sin ＝ C．cos ＝－ D．tan ＝－2 BCD　[因为sin α＝－，π＜α＜，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故A错误；因为＜＜，所以sin ＝＝＝， cos ＝－＝－＝－， tan ＝＝－2，故BCD均正确．] 6．(多选)(2023·江苏宿迁模拟)若tan θ＝－2，则下列等式中成立的是(　　) A．tan 2θ＝－ B．＝ C．sin θ(sin θ－cos θ)＝ D．sin ＝ BCD　[因为tan 2θ＝＝＝， 所以选项A错误；因为＝＝＝，所以B正确； 因为sin θ＝sin2θ－sinθcos θ ＝＝＝＝，所以C正确；因为sin＝sin 2θ－cos 2θ ＝ ＝ ＝＝＝，所以D正确；故选BCD.] 二、填空题 7．已知sin2α＝，则cos2＝________． 　[法一：cos＝cos α－sin α， 所以cos2＝(cosα－sin α)2 ＝(1－2sin αcos α)＝(1－sin 2α)＝. 法二：cos2＝ ＝＝＝.] 8．已知θ∈，且sin ＝，则tan θ＝________，tan 2θ＝________． 　－　[∵θ∈且sin ＝， ∴cos ＝， ∴tan ＝＝，解得tan θ＝. 故tan 2θ＝＝－.] 9．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________． －　[依题意有 ∴tan (α＋β)＝＝＝1. 又 ∴tan α＜0且tan β＜0， ∴－＜α＜0且－＜β＜0， 即－π＜α＋β＜0，结合tan (α＋β)＝1， 得α＋β＝－.] 三、解答题 10．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan (α＋β)的值，并求出α＋β的值． [解]　由cos β＝，β∈， 得sin β＝，tan β＝2. 所以tan (α＋β)＝＝＝1. 因为α∈，β∈， 所以<α＋β<，所以α＋β＝. 11．已知0＜α＜＜β＜π，cos ＝，sin (α＋β)＝. (1)求sin 2β的值； (2)求cos 的值． [解]　(1)∵cos ＝cos cos β＋sin sin β＝cos β＋sin β＝， ∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝， ∴sin 2β＝－. (2)∵0＜α＜＜β＜π， ∴＜β－＜，＜α＋β＜， ∴sin ＞0，cos (α＋β)＜0. ∵cos ＝，sin (α＋β)＝， ∴sin ＝，cos (α＋β)＝－. ∴cos ＝cos ＝cos (α＋β)cos ＋sin (α＋β)sin ＝－×＋×＝. 12．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ B　[因为tan α＝，所以＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin (α－β)＝sin ，又α，β均为锐角，且y＝sin x在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B.] 13．若tan α＋＝，α∈，则sin ＋cos2α的值为________． 0　[∵tanα＋＝，α∈， ∴tan α＝3或tan α＝(舍)， 则sin ＋cos2α ＝sin2αcos ＋cos 2αsin ＋· ＝sin 2α＋cos 2