第9章 第5课时 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第5课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 [考试要求]　 1．了解两个事件相互独立的含义． 2．理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率． 1．事件的相互独立性 概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立 性质 若事件A与事件B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A) 2．条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 提醒：P(B|A)与P(A|B)的意义不同，“|”后面的表示条件，一般情况下，二者不相等． (2)性质：设P(B|A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1； ③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ④设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 3．概率的乘法公式 由条件概率的定义知，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称该式为概率的乘法公式． 4．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式． 5．贝叶斯公式(选学内容，不作考试要求) 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω， P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. [常用结论] 相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P() P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P() ＋P()P(B) 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件． (　　) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． (　　) (3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率． (　　) (4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B). (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第二册P263复习参考题10T1改编)(多选)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(　　) A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与C互斥 D．A与B互斥 AB　[由于摸球过程是有放回地，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥．] 2．(人教A版选择性必修第三册P46例1改编)在5道题中有3道代数题和2道几何题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为(　　) A． B． C． D． D　[根据题意，在第1次抽到几何题后，还剩4道题，其中有3道代数题，则第2次抽到代数题的概率P＝，故选D.] 3．(人教A版必修第二册P249练习T3改编)天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56 C　[设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.] 4．(人教A版选择性必修第三册P50例5改编)两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则取到这件产品是合格品的概率为________． 0.957　[设B＝“取到合格品”，Ai＝“取到的产品来自第i批”(i＝1，2)，则P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.7，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.96， 由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝0.3×