第9章 第2课时 二项式定理(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第2课时　二项式定理 [考试要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同． 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式 系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的 当k＞(n∈N*)时，是递减的 最大值 当n为偶数时，中间的一项Cn取得最大值 当n为奇数时，中间的两项Cn与Cn相等，且同时取得最大值 3．各二项式系数的和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n． (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． [常用结论] 赋值法的应用 (1)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn. (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 ①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1). ②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝. ③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． (　　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． (　　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． (　　) (4)通项Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　) A．6　 B．－6　　 C．24　 D．－24 A　[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C＝6.故选A.] 2．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)的展开式的中间项为(　　) A．－40 B．－40x2 C．40 D．40x2 B　[的展开式的中间项为C(2x)3·＝－40x2.故选B.] 3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为(　　) A．252x3 B．210x4 C．252x5 D．210x6 C　[由题意可得，二项式的展开式满足Tk＋1＝Cxk，且有C＝C，因此n＝10.故二项式系数最大的项为Cx5＝252x5.故选C.] 4．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________． －15　[(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为5x2－20x2＝－15x2. 故x2的系数为－15.] 考点一　二项展开式的通项公式的应用 　形如(a＋b)n的展开式问题 [典例1]　(1)(2022·上海春季高考)已知二项式，则展开式中含项的系数为________． (2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________． (1)66　(2)16　5　[(1)展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x3)12－k＝Cx36－4k，由36－4k＝－4，得4k＝40，得k＝10，即T11＝Cx－4＝，即含项的系数为66. (2)由题意，(＋x)9的通项为Tk＋1＝C()9－kxk(k＝0，1，2，…，9)，当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16；若展开式的系数为有理数，则k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个项．] 　形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题 [典例2]　(1)(2022·江苏南通模拟)在(x＋1)(x＋2)·(x＋3)(x＋4)的展开式中，含x3项的系数为(　　) A．50　　 B．35　　 C．24　　 D．10 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______．(用数字作答) (1)D　(2)－28　[(1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)展开式的x3项是4个因式中任取3个用x，另一个因式用常数项相乘积的和，则(x＋1)(x＋2)(x＋3)·(x＋4)展开式中的x