第6章 高考研究在线6 传统文化中的数列建模与创新应用(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

纵观新高考三年的真题，我们不难发现新一轮高考改革对数列的命题特别突出对考生数学思维能力的考查，所以日常备考要始终贯穿观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、猜想、证明、应用等能力的培养．既通过归纳、类比、递推等方法的应用突出对考生数学探究、理性思维的培养，又通过通项公式、递推公式、前n项和公式等内容进行大量技能训练，培养考生逻辑思维、运算求解能力． 命题点一　传统文化中的数列建模 [典例1]　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) 图1 图2 A．0.75 B．0.8　 C．0.85 D．0.9 (2)(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么k＝________dm2. (1)D　(2)5　240　[(1)如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1.因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1·(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1.又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan ∠AOA2＝＝＝0.725，解得k3＝0.9，故选D. (2)依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180； 当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm， dm×12 dm，10 dm×3 dm，20 dm× dm四种规格的图形，且5×6＝30，×12＝30，10×3＝30，20×＝30，所以S3＝30×4＝120； 当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm， dm×6 dm， dm×12 dm，10 dm× dm，20 dm× dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，×6＝15，×12＝15，10×＝15，20×＝15，所以S4＝15×5＝75； …… 所以可归纳Sk＝×(k＋1)＝. 所以k＝240①， 所以×k＝240②， 由①－②得， ×k＝240 ＝240＝240， 所以k＝240dm2.] 　第(1)题以中国古代建筑中的举架结构为背景，考查学生综合应用等差数列、解析几何、三角函数等基础知识解决实际问题的能力；第(2)题以剪纸艺术为背景，让学生体验从特殊到一般的探索数学问题的过程，重点考查灵活运用数学知识分析问题的能力． [跟进训练] 1．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．现有一张半径为R的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同．如果把k次对折后得到的不同规格的图形面积和用Sk表示，由题意知S1＝，S2＝，则S4＝________；如果对折n次，则k＝________． πR2　πR2　[因为S1＝，S2＝， 所以Sk＝πR2＝πR2·＝πR2， 所以S4＝πR2＝πR2. k＝πR2 ＝πR2 ＝πR2 ＝πR2.] 命题点二　数列中的新定义 [典例2]　(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)设正整数n＝a0·20＋a1·21＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}，i＝0，1，…，k，记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，则(　　) A．ω(2n)＝ω(n) B．ω(2n＋3)＝ω(n)＋1 C．ω(8n＋5)＝ω(4n＋3) D．ω(2n－1)＝n ACD　[对于A，ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak， 2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，