第4章 2 2.2 换底公式 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

2.2　换底公式 　　 有些计算器上只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”)。对一般的底数a>0,且a≠1和b>0,要计算logab,必须将它转换成常用对数或自然对数。如何转换呢? 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 换底公式 (1)形式:logab=。 (2)适用条件:a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1。 (3)常用变形: ①logab·logba=1,即=logba。 ②lobβ=logab。 微思考 1.对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式? 提示:logab=,logab=。 2.你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论lobβ=logab吗? 提示:lobβ===logab。 　 类型一 利用换底公式化简求值 　　【例1】　(1)式子log916·log881的值为 (　　) A.18 B. C. D. 解析　原式=lo24·lo34=·=。 答案　C (2)+等于 (　　) A.lg3 B.-lg3 C. D.- 解析　+ =+=+ =+==。 答案　C (3)计算: (log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)。 解　原式= = ==13。 　　(1)换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题。 (2)利用换底公式计算、化简、求值的一般思路 【变式训练】　计算:(1)log23×log36×log68; (2)(log23+log43)(log32+log274)。 解　(1)原式=log23××=log28=3。 (2)原式=×log32+log32=×=log2×lo332=logg23×=。 类型二 换底公式的综合应用 　　【例2】　(1)设3a=4b=36,则+=　　　　。  解析　解法一:由3a=4b=36,得a=log336,b=log436,由换底公式得=log363,=log364,所以+=2log363+log364=log3636=1。 解法二:由3a=4b=36,两边取以6为底数的对数,得alog63=blog64=log636=2,所以=log63,=log64=log62,所以+=log63+log62=log66=1。 答案　1 (2)十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急。数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数式与对数式的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN,现在已知a=log48,b=log24,则4a=　　　　,a+b=　　　　。(用最简结果作答)  解析　a=log48,b=log24,则4a==8,a+b=+2=+2=。 答案　8　 　　用已知对数的值表示所求对数的值,要注意以下几点 (1)增强目标意识,合理地把所求向已知条件靠拢,巧妙代换。 (2)巧用换底公式,灵活“换底”是解决这类问题的关键。 (3)注意一些派生公式的使用 【变式训练】　(1)若alog32=1,b=log38·log44·log82,则 (　　) A.a<b B.a<1,b>1 C.a=b D.ab=1 解析　因为b=log38·log44·log82=log32,alog32=1,即ab=1。 答案　D (2)已知log189=a,18b=5,求log3645的值。 解　解法一:因为log189=a,18b=5,所以log185=b。 所以log3645======。 解法二:因为log189=a,所以18a=9。 又18b=5,所以45=5×9=18b·18a=18a+b。 令log3645=x,则36x=45=18a+b, 即=18a+b,即182x=9x·18a+b。 因为18a=9,所以182x=(18a)x·18a+b=18ax·18a+b=18ax+a+b, 所以2x=ax+a+b,所以x=, 即log3645=。 半衰期中的对数运算问题 　　【典例】　在物理学上,一个放射性同位素的半衰期是指一个样本内,其放射性原子衰变至原来数量的一半所需的时间。测定古植物的年代可用放射性碳法。在植物内部含有微量的放射性元素14C,在植物死亡后,新陈代谢停止,14C就不再产生,且原有的14C会自动衰变,经过5 730年(14C的半衰期)它们的残余量就只有原始含量的,经过科学测定,若14C的原始含量为a,则经过t年后的残余量at与a之间满足关系式at=a·e-kt。现有一出土古植物,其中的14C的残余量占原始含量的87.9%,试推算出这个古植物死亡的时间。(lg2≈0.301 0,lg0.879≈-0