第1章 3.1 不等式的性质 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

§3　不等式 3.1　不等式的性质 　　 在日常生活中,糖水中加些糖后就会变得更甜,也可以用不等式来表示这一现象。若a克糖水中含b克糖(a>b>0),再加m(m>0)克糖溶化后,则糖水更甜,用一个不等式来表示这个现象为>。 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系。 2.初步学会作差法比较两个实数的大小。 3.掌握不等式的基本性质。 4.运用不等式的性质解决有关问题。 1.关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实: 如果a-b是正数,那么a>b; 如果a-b等于0,那么a=b; 如果a-b是负数,那么a<b,反过来也成立。 这个基本事实可以表示为 a>b⇔a-b>0 a=b⇔a-b=0 a<b⇔a-b<0 2.不等式的性质 性质1　如果a>b,且b>c,那么a>c。 性质2　如果a>b,那么a+c>b+c。 性质3　(1)如果a>b,c>0,那么ac>bc; (2)如果a>b,c<0,那么ac<bc。 性质4　如果a>b,c>d,那么a+c>b+d。 性质5　(1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd; (2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd。 特殊地,当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2。 性质6　当a>b>0时,>,其中n∈N+,n≥2。 微提醒 1.上面基本事实指出了比较大小的常用方法:作差法。 2.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件。不可强化或弱化成立的条件。 　 微思考 1.在比较两实数a,b大小的依据中,a,b两数是任意实数吗? 提示:是。a,b是任意实数。 2.不等式的性质3就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数,不改变不等号的方向,对吗?为什么? 提示:不对,要看两边乘以的数的符号。 　 类型一 实数(式)的比较大小 　　【例1】　比较下列各式的大小: (1)当x≤1时,比较3x3与3x2-x+1的大小; (2)当x,y,z∈R时,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小。 解　(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1) =(3x2+1)(x-1)。 因为x≤1,所以x-1≤0, 而3x2+1>0。 所以(3x2+1)(x-1)≤0, 所以3x3≤3x2-x+1。 (2)因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2) =4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1 =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0, 所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2, 当且仅当x=y=且z=1时取到等号。 　　作差法比较大小的步骤 　　【变式训练】　已知x,y∈R,P=2x2-xy+1,Q=2x-,试比较P,Q的大小。 解　因为P-Q=2x2-xy+1-=x2-xy++x2-2x+1=+(x-1)2≥0,所以P≥Q。 类型二 判断不等式的真假 　　【例2】　对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确: (1)若a,b∈R,且a>b,则a3>b3; (2)若a<b<0,则a2>ab>b2; (3)若c>a>b>0,则>; (4)若a>b,>,则a>0,b<0; (5)若a<b<0,则>。 解　(1)因为a3,b3不改变a,b的符号,即符合不等式的可乘方性,故该结论正确。 (2)由可得a2>ab。因为所以ab>b2,从而有a2>ab>b2。故该结论正确。 (3)由a>b>0,可得-a<-b<0。因为c>a>b,所以0<c-a<c-b,因此>>0,于是>。故该结论正确。 (4)由>,可知-=>0。因为a>b,所以b-a<0,于是ab<0。又因为a>b,所以a>0,b<0。故该结论正确。 (5)依题意取a=-2,b=-1,则=,=2,显然<。故该结论错误。 　　(1)解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法。 (2)注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒<,不能误认为是a>b⇒<,在应用时不能出错 【变式训练】　如果a<b<0,那么下列各式一定成立的是 (　　) A.a-b>0 B.ac2<bc2 C.a2>b2 D.< 解析　因为a<b<0,所以a-b<0,a+b<0,>,所以(a-b)·(a+b)=a2-b2>0,即a2>b2,故C正确,A,D不正确;当c=0时,ac2=bc2,故B项不一定正确。故选C。 答案　C 类型三 利用不等式性质证明简单不等式 　　【例3】　若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>。 证明　因为c<d<0,所以-c>-d>0。 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0。 所以(a-c)2>(