第1章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 　　一位探险家被土人抓住,土人首领说:“如果你说真话,你将被烧死,说假话,将被五马分尸。”试想想探险家该如何保命? 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 1.全称量词命题的否定 全称量词命题p p的否定 结论 ∀x∈M,x具有性质p(x) ∃x∈M,x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 2.存在量词命题的否定 存在量词命题p p的否定 结论 ∃x∈M,x具有性质p(x) ∀x∈M,x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 微提醒 　(1)写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定。 (2)全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反。 　 微思考 　你知道的常见量词有哪些?它们的否定是什么? 提示:常见量词及其否定: 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的 否定 不是 不一 定是 不都是 小于或 等于 大于或 等于 或 词语 必有 一个 至少 有n个 至多 有一个 所有x 成立 所有x 不成立 能 词语的 否定 一个 也没有 至多有 n-1个 至少 有两个 存在一个 x不成立 存在一个 x成立 不能 　 类型一 全称量词命题的否定 　　【例1】　写出下列全称量词命题的否定: (1)任何一个平行四边形的对边都平行; (2)∀a∈R,方程x2+ax+2=0有实数根; (3)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解; (4)可以被5整除的整数,末位是0。 解　(1)存在一个平行四边形,它的对边不都平行。 (2)∃a∈R,方程x2+ax+2=0没有实数根。 (3)∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在。 (4)存在被5整除的整数,末位不是0。 　　全称量词命题的否定的两个关注点 (1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定。 (2)有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是” 【变式训练】　写出下列全称量词命题的否定: (1)所有自然数的平方都是正数; (2)任何实数x都是方程5x-12=0的根; (3)对任意实数x,x2+1≥0。 解　(1)有些自然数的平方不是正数。 (2)存在实数x不是方程5x-12=0的根。 (3)存在实数x,使得x2+1<0。 类型二 存在量词命题的否定 　　【例2】　写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假。 (1)p:存在x∈R,2x+1≥0; (2)q:存在x∈R,x2-x+<0; (3)r:有些分数不是有理数。 解　(1)任意x∈R,2x+1<0,为假命题。 (2)任意x∈R,x2-x+≥0。 因为x2-x+=≥0,所以是真命题。 (3)一切分数都是有理数,是真命题。 　　存在量词命题否定的方法及关注点 (1)方法:与全称量词命题的否定的写法类似,要写出存在量词命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到存在量词命题的否定。 (2)关注点:注意对不同的存在量词的否定的写法,例如,“存在”的否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等 【变式训练】　写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假。 (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)∃x,y∈Z,使得x+y=3。 解　(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”。它为假命题。 (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”。由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题。 (3)命题的否定是“∀x,y∈Z,x+y≠3”。当x=0,y=3时,x+y=3,因此命题的否定是假命题。 类型三 求参数的取值范围 　　【例3】　已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0,q:∃x∈R,ax2+ax+1≤0。若p与q均为假命题,求实数a的取值范围。 解　因为p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0,q:∃x∈R,ax2+ax+1≤0, 所以p的否定:∃x∈R,ax2+2x+1=0, q的否定:∀x∈R,ax2+ax+1>0。 由题意得p的否定与q的否定都是真命题。 由p的否定为真命题得a=0或 故a≤1。 由q的否定为真命题得a=0或 故0≤a<4。 所以解得0≤a≤1。 故实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}。 　　利用含量词的命题的真假