第1章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

2.2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 　　学校为了迎接秋季田径运动会,正在排练由500名学生参加的开幕式团体操表演。这500名学生符合下列条件:①所有学生都来自高二年级;②至少有30名学生来自高二(1)班。这就涉及到了全称量词与存在量词。 通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义。 1.全称量词与全称量词命题 (1)在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题。 (2)在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“∀”表示,读作“对任意的”。 2.存在量词与存在量词命题 (1)在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题。 (2)在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示,读作“存在”。 　 微思考 1.全称量词和存在量词的含义分别是什么? 提示:全称量词表示整体或全部;存在量词表示个别或一部分。 2.在全称量词命题和存在量词命题中,量词是否可以省略? 提示:在存在量词命题中,量词不可以省略;在有些全称量词命题中,量词可以省略。 　 类型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 　　【例1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“∀”或“∃”表示下列命题。 (1)自然数的平方大于或等于零; (2)存在实数x,满足x2≥2; (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直; (4)存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大。 解　(1)是全称量词命题,表示为∀x∈N,x2≥0。 (2)是存在量词命题,表示为∃x∈R,满足x2≥2。 (3)是存在量词命题,表示为存在四边形是平行四边形,但四边形的对角线不互相垂直。 (4)是存在量词命题,∃a∈R,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大。 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称量词命题或存在量词命题。 (2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题。 (3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质 【变式训练】　判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题。 (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)矩形都是正方形; (3)有些素数的和仍是素数; (4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直。 解　(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称量词命题。 (2)可以改写为所有矩形都是正方形,故为全称量词命题。 (3)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题。 (4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题。 类型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 　　【例2】　指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假。 (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点; (2)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (3)对任意实数x1,x2,若x1<x2,都有<; (4)存在一个实数x,使得x2+2x+3=0。 解　(1)(3)是全称量词命题,(2)(4)是存在量词命题。 (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题。 (2)存在一个实数0,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题。 (3)存在x1=-5,x2=-3,x1<x2,但(-5)2>(-3)2,所以该命题是假命题。 (4)由于x∈R,则x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使得x2+2x+3=0的实数x不存在,所以该命题是假命题。 　　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对给定集合M中的每个元素x验证性质p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,却只要能举出集合M中的一个x=x0,使得性质p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)。 (2)判断存在量词命题的真假性的关键是探究给定集合M中x的存在性。若找到一个元素x∈M,使性质p(x)成立,则该命题是真命题;若不存在x∈M,使性质p(x)成立,则该命题是假命题 【变式训练】　判断下列命题的真假。 (1)对每一个无理数x,x2也是无理数; (2)末位是零的整数,可以被5整除; (3)有些整数只有两个正因数; (4)某些平行四边形是菱形。 解　(1)因为是无理数,但()2=2是有理数,所以全称量词命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题。 (2)因为每一个末位是零的整数,都能被5整除,所以全称量词命题“末位是零的整数,可以被5整除”是真命题。 (3)由于存在