第1章 2.1 第1课时 必要条件与性质定理、充分条件与判定定理 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与性质定理、充分条件与判定定理 　　 我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话:①“有之则必然,无之则未必然”;②“无之则必不然,有之则未必然”。这两句话蕴含什么逻辑关系呢?这就是本节我们所要探讨的内容。 1.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系。 2.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系。 1.推出符号“⇒”的含义 当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p⇒q。 2.充分条件与必要条件 一般地,当命题“若p,则q ”是真命题时,称q是p的必要条件,p是q的充分条件。 微思考 1.p是q的充分条件,是指由条件p可以推出q,那么q成立的充分条件p是不是唯一的? 提示:不是,q成立的条件p可能有多种。 2.q是p的必要条件,是指由p可以推出q,那么条件p是不是只能推出q? 提示:不是,由p也可能推出其他的结论。 　 类型一 必要条件的判断 　　【例1】　给出下列四组命题: (1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等; (2)p:A⊆B,q:A∩B=A; (3)p:a>b,q:ac>bc。 试分别指出p是q的什么条件。 解　(1)因为两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,所以p是q的必要条件但不是充分条件。 (2)因为p⇒q且q⇒p, 所以p既是q的充分条件,又是q的必要条件。 (3)因为pq,且qp, 所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件。 　　一般地,定义法主要用于较简单的命题判断,集合法一般需对命题进行化简,等价法主要用于否定性命题。要判断p是不是q的充分条件,就要看p能否推出q,要判断p是不是q的必要条件,就要看q能否推出p 【变式训练】　指出下列哪些命题中p是q的必要条件? (1)在△ABC中,p:AC>AB,q:∠B>∠C; (2)已知x,y∈R,p:(x-1)(x-2)=0,q:x=1。 解　(1)在△ABC中,由大角对大边知,∠B>∠C⇒AC>AB,所以p是q的必要条件。 (2)由x=1⇒(x-1)(x-2)=0,故p是q的必要条件。 故(1)(2)命题中p是q的必要条件。 类型二 充分条件的判断 　　【例2】　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若a∈Q,则a∈R; (2)若a<b,则<1; (3)若x>1,则x2>1; (4)若(a-2)(a-3)=0,则a=3; (5)在△ABC中,若A>B,则BC>AC; (6)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0。 解　(1)由于Q⫋R,所以p⇒q, 所以p是q的充分条件。 (2)由于a<b,当b<0时,>1;当b>0时,<1, 因此pq,所以p不是q的充分条件。 (3)由x>1可以推出x2>1。因此p⇒q, 所以p是q的充分条件。 (4)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3, 因此pq,所以p不是q的充分条件。 (5)由三角形中大角对大边可知,若A>B,则BC>AC。因此p⇒q,所以p是q的充分条件。 (6)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0, 由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q, 所以p是q的充分条件。 　　命题判断方法 如果命题“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;如果命题“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件 【变式训练】　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB; (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等; (3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方。 解　(1)线段垂直平分线的性质,p⇒q,p是q的充分条件。 (2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等,pq,p不是q的充分条件。 (3)相似三角形的性质,p⇒q,p是q的充分条件。 类型三 根据充分条件(必要条件)求参数的取值范围 　　【例3】　已知集合A={y|y=x2-3x+1,x∈R},B={x|x+2m≥0}。命题p:x∈A,命题q:x∈B,并且q是p的必要条件,求实数m的取值范围。 解　由已知可得A=yy=-,x∈R=,B={x|x≥-2m}。因为q是p的必要条件,所以p⇒q,所以A⊆B,所以-2m≤-,所以m≥,即实数m的取值范围是。 　　根据必要条件求参数的取值范围时,先将p,q等价转化,再根据必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解 【变式训练】　已知M={x|a-1<x<a+1},N={x|-3<x<8},若N是M的