第1章 1.2 集合的基本关系 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

1.2　集合的基本关系 　　 星座,是指天上一群在天球上投影的位置相近的恒星的组合。如北极星在小熊座。设小熊座中的星星构成集合A,所有恒星构成集合B,那么集合A与集合B有什么关系呢?这就是本节课我们所要学习的集合间的关系。 1.理解集合之间包含与相等的含义。 2.能识别给定集合的子集。 3.在具体情境中,了解空集的含义。 4.能使用Venn图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用。 1.子集的相关概念 ①子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) Venn图:为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图。 ②集合相等 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B,即对于两个集合A与B,若A⊆B,且B⊆A,则A=B。 ③真子集的概念 对于两个集合A与B,如果A⊆B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A)。 2.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A。 (2)空集是任何集合的子集。即⌀⊆A。 (3)对于集合A,B,C: ①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C; ②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C; ③若A⊆B,A≠B,则A⫋B。 微提醒 真子集概念的理解 在真子集的定义中,A,B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A。 　 微思考 1.A⊆B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合? 提示:A⊆B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若A=⌀,则A中不包含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素,而此时可以说集合A是集合B的子集。 2.符号“∈”与“⊆”的区别是什么? 提示:符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系,而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系。 　　 类型一 集合的子集问题 　　【例1】　(1)集合{a,b,c}的所有子集为　　　　　　　　,其中它的真子集有　　　　个。  答案　⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}　7 (2)写出满足{3,4}⫋P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P。 解　由题意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P为{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}。 　　(1)假设集合A中含有n个元素,则有:①A的子集的个数有2n个;②A的非空子集的个数有(2n-1)个;③A的真子集的个数有(2n-1)个;④A的非空真子集的个数有(2n-2)个。 (2)求给定集合的子集的两个注意点:①按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;②在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身 【变式训练】　已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集。 解　A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}。所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}。 类型二 集合间关系的判断 　　【例2】　指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}。 解　(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系。 (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B。 (3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⫋B。 (4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故N⫋M。 　　判断集合关系的方法 (1)观察法:一一列举观察。 (2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系。 (3)数形结合法:利用数轴或Venn图 【变式训练】　(1)能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是 (　　) A　B　C　D 解析　解x2-x=0得x=1或x=0