第1章 1.1 第2课时 集合的表示 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

第2课时　集合的表示 　　 语言是人类交流思想的工具,我们学习了集合那自然就有集合语言,集合语言与其他语言的关系及构成如图所示。 1.掌握集合的表示方法——列举法、描述法和区间表示法,培养数学抽象素养。 2.能进行自然语言与集合语言间的相互转换。 1.列举法 把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{　}”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}。 2.描述法 (1)通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}。 (2)具体步骤: ①在花括号内写出集合中元素的一般符号及范围。 ②画一条竖线。 ③在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征。 3.集合的分类 含有有限个元素的集合叫作有限集,含有无限个元素的集合叫作无限集。把不含任何元素的集合叫作空集,记作⌀。 4.区间及其表示 区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表: 设a,b是两个实数,且a<b。 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a,b] {x|x≥a} — [a,+∞) {x|x>a} — (a,+∞) {x|x≤a} — (-∞,a] {x|x≤b} — (-∞,b] {x|x<b} — (-∞,b) 　 微提醒 描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号,如数或点等。 (2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等。 (3)不能出现未被说明的字母。 微思考 1.{(x,y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢? 提示:不能,(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点,而x或y则表示集合的元素是数,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么。 2.(1)区间(a,b)中,a与b有什么关系? (2)“∞”是一个数吗? 提示:(1)a<b。 (2)不是,∞是一个符号,表示无穷大。 　 类型一 用列举法表示集合 　　【例1】　用列举法表示下列集合: (1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合; (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合; (3)函数y=2x-1的图象与坐标轴交点组成的集合。 解　(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1或2,因此可以用列举法表示为{1,2}。 (2)由于“Welcome”中包含的字母有W,e,l,c,o,m,共6个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,o,m}。 (3)函数y=2x-1的图象与x轴的交点为,与y轴的交点为(0,-1),因此可以用列举法表示为。 　　用列举法表示集合的三个注意点 (1)用列举法表示集合时,首先要注意元素是数、点,还是其他的类型,即先定性。 (2)列举法适合表示有限集,当集合中元素个数较少时,用列举法表示集合比较方便。 (3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键 【变式训练】　用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数集; (2)由+(a,b∈R)所确定的实数集合; (3)求方程组的解集。 解　(1)因为不大于10是小于或等于10;非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}。 (2)关键是根据绝对值的意义化简,设x=+,当a>0,b>0时,x=2;当a<0,b<0时,x=-2;当a,b异号时,x=0,故用列举法表示为{-2,0,2}。 (3)解方程组得 故此方程组的解集为{(1,-1)}。 类型二 用描述法表示集合 　　【例2】　用描述法表示下列集合,并指明是有限集还是无限集。 (1)大于5小于10的所有有理数组成的集合; (2)被3除余2的正整数组成的集合; (3)反比例函数y=的自变量的值组成的集合; (4)三角形的全体组成的集合。 解　(1)设元素为x,则大于5小于10的有理数为5<x<10且x∈Q,组成的集合用描述法可表示为{x∈Q|5<x<10};无限集。 (2)设元素为x,则x=3k+2,k∈N,因此用描述法表示集合为{x|x=3k+2,k∈N};无限集。 (3)函数y=的自变量应满足x≠1,组成的集合用描述法可表示为{x∈R|x≠1};无限集。 (4)设元素为x,则用描述法表示为{x|x是三角形};无限集。 　　描述法表示集合的步骤 (1)确定集合中元素的特征。 (2)给出其满足的性质。 (3)根据描述法的形式写出其满足的集合 【变式训练】　(1)用描述法表示下列集合: ①; ②被5除余1的正整数