21.1一元二次方程-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的概念 ◆1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ◆2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . 知识点二 一元二次方程的一般形式 ◆一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 知识点三 一元二次方程的解（根） ◆一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． ◆一元二次方程的解（根）满足的条件： （1） 未知数的值；（2）使方程左右两边相等. 题型一 一元二次方程的识别 【例题1】（2023春•海曙区校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 B． 解题技巧提炼 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【变式1-1】（2023春•洞头区期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2＝2+3x B．2（x﹣1）+x＝2 C． D．x2﹣xy+4＝0 【变式1-2】（2023•凉山州模拟）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0 C．（x+1）2＝2x+1 D．x+1＝0 【变式1-3】（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x C．5x2﹣4＝0 D．ax2+bx+c＝0 【变式1-4】（2023春•肇源县期中）下列方程中一元二次方程的个数为（　　） ①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③；④ax2+bx+c＝0；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-5】（2023春•和平区校级期中）下列方程中，①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 由一元二次方程的定义求字母的取值范围 【例题2】（2023•大连一模）若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k≠0 C．k＜0 D．k为实数 解题技巧提炼 由一元二次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据二次的系数不为0得出字母的取值范围，有时要把方程先化为一般式. 【变式2-1】（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≥2 且 a≠2 B．a≥0 且 a≠2 C．a≥2 D．a≠2 【变式2-2】（2023春•花山区校级期中）关于x的方程（a﹣1）2x2+ax+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为 　 　． 【变式2-3】（2022秋•宜阳县期末）关于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，则m应满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m≠2 D．m＝2 【变式2-4】（2023•龙川县校级开学）若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m≠2 B．m≠﹣2 C．m≠﹣2，或 m≠2 D．m≠﹣2，且 m≠2 【变式2-5】（2023春•淮北月考）若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 　 　． 题型三 由一元二次方程的定义求字母的值 【例题3】（2023春•青田县月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值 为（　　） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 解题技巧提炼 根据一元二次方程的定义，利用未知数的最高次数是2和二次项系数不为0得出字母的值. 【变式3-1】（2022秋•渭滨区期末）已知x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．2 B．2或﹣2 C．0 D．﹣2 【变式3-2】（2023•桐柏县一模）关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1