专题08 平面解析几何（解答题）-学易金卷：三年（2021-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题08 平面解析几何（解答题） 知识点目录 知识点1：弦长、周长问题 知识点2：斜率问题 知识点3：面积及面积比问题 知识点4：定直线问题 知识点5：向量问题 知识点6：共线与平行问题 知识点7：相切问题 知识点8：定点定值问题 近三年高考真题 知识点1：弦长、周长问题 1．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 2．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 3．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，． （1），中点在轴上，求点的坐标； （2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求； （3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值． 4．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点． （Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求的最小值． 5．（2022•北京）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值． 6．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 7．（2022•上海）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限． （1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； （2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由； （3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值． 8．（2021•北京）已知椭圆的一个顶点，以椭圆的四个顶点围成的四边形面积为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线、分别与直线交于点、，当时，求的取值范围． 9．（2021•浙江）如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且． （Ⅰ）求抛物线的方程： （Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，若斜率为2的直线与直线，，，轴依次交于点，，，，且满足，求直线在轴上截距的取值范围． 知识点2：斜率问题 10．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为． （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 11．（2021•乙卷（文））已知抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值． 12．（2022•甲卷（文））设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，． （1）求的方程； （2）设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线的方程． 知识点3：面积及面积比问题 13．（2023•甲卷（文））已知直线与抛物线交于，两点，． （1）求； （2）设为的焦点，，为上两点，且，求面积的最小值． 14．（2023•甲卷（理））设抛物线，直线与交于，两点，且． （1）求的值； （2）为的焦点，，为抛物线上的两点，且，求面积的最小值． 15．（2023•天津）设椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，． （Ⅰ）求椭圆方程及其离心率； （Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程． 16．（2022•天津）椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足． （1）求椭圆的离心率； （2）直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于．记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 17．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 知识点4：定直线问题 18．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为． （1）求的方程； （2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上． 知识点5：向量问题 19．（2021•上海）已知，，是其左、右焦