06 空间中的垂直关系小阶段经典题讲解+训练（基础版）-2022-2023学年高一下学期数学人教B版必修第四册

记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习 1.判断题： ①平面α,β及直线l满足α⊥β,l∥α,则l∥β ②若直线m∥平面α, 直线n⊥平面β,m⊥n,则α⊥β ③若直线m∥平面α, 直线n⊥平面β, m∥n,则α⊥β ④直线m⊥直线n, m∥平面α, 平面α∥平面β则n⊥β ⑤直线m⊥平面α, 直线n∥平面β,α∥β则m⊥n ⑥直线m⊥平面α, 直线m∥直线n, 平面α∥平面β则n⊥β 2.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,则下列结论中 正确的是　　　　.(把所有正确结论的序号都填上)  ①BD∥平面CB1D1; ②AC1⊥平面CB1D1; ③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条 3. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD, 且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是(　 ) A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAB⊥平面PBC C.平面PBC⊥平面PCD D.平面PCD⊥平面PAD 4. 如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC, 且PA=PB=PC,则△ABC是　　　　三角形.  5. 如图,四棱锥S-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为2, SD⊥平面ABCD,SD=AD,点E是棱SD上任意一点. 求证:AC⊥BE. 6. 如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转 至△ABD的位置,使CD=AC. 求证:平面ABD⊥平面ABC. 参考答案： 1. ①×②×③√④×⑤√⑥√ 提示：①在正方体中，平面ABCD⊥平面ABB1A1,B1C1∥平面ABCD, 但是，B1C1⊥平面ABB1A1. ②在正方体中，BC∥平面A1B1C1D1,BB1⊥平面ABCD,BC⊥BB1, 但是，平面A1B1C1D1∥平面ABCD. ③在平面α内取一点A，由A和m确定的平面记为γ，平面α和平面γ的交线记为l，∴m∥l, 已知m∥n，∴l∥n, 已知n⊥平面β, ∴l⊥平面β, ∴α⊥β. ④在正方体中，AB⊥B1C1,AB∥平面A1B1C1D1, 平面A1B1C1D1∥平面ABCD， 但是，B1C1∥平面ABCD. ⑤∵直线m⊥平面α, α∥β，∴m⊥β,垂足记为A,由A和n确定的平面记为γ，平面β和平面γ的交线记为l，根据直线与平面平行的性质定理得，l∥n,∵l在平面β内，∴m⊥l,∴m⊥n. ⑥∵直线m⊥平面α, 直线m∥直线n,∴直线n⊥平面α,又∵平面α∥平面β, ∴直线n⊥平面β 2.①②　 提示：① 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD∥B1D1, B1D1⊂平面CB1D1,BD⊄平面CB1D1。 ②连接A1C1,BC1(自己画图),由A1B1C1D1是正方形， 得B1D1⊥A1C1,又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1,又A1C1∩AA1=A1,∴B1D1⊥平面AC1A1,故B1D1⊥AC1. 同理可得B1C⊥AC1.(自己尝试证明一下，如果不会证，那么一定要重新学习一下前面证明B1D1⊥AC1的过程)又B1D1∩B1C=B1,∴AC1⊥平面CB1D1. ③∵AD∥BC,点A1与直线AD成90°角的直线必和BC也垂直,又过点A1的直线和CB1垂直,BC∩CB1=C,∴该直线必和平面B1C1CB垂直,满足条件的只有直线A1B1,故③不正确. 3.C 提示：从选项上看都是面面垂直的问题，因此应该想到面面垂直的判定定理：“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。” 由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥AD,PA⊥AB,又∵ABCD为矩形, ∴AD⊥AB,而AD∩PA=A, ∴AB⊥平面PAD，平面PAB经过AB， ∴平面PAB⊥平面PAD, 选项A正确；∵CD∥AB, ∴CD⊥平面PAD，平面PCD经过CD，∴平面PCD⊥平面PAD, 选项D正确； 同理BC⊥平面PAB,∴选项B正确. 如果是考试，那么选C. 如果是学习，那么我们要知道为什么选项C不正确。 假如C正确，即平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，在直角三角形PBC中，过B点作斜边PC的垂线，垂足记为M,则BM⊥平面PCD,∴BM⊥CD,已知CD⊥BC,∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥PC与CD⊥PD相矛盾。 4. 直角 提示：由条件“平面PAB⊥平面ABC”，应该想到面面垂直的性质定理：“如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。” 根据前述的性质定理，平面PAB和平面ABC的交线是AB，那么是在平面PAB内还是在平面CAB内作AB的垂线呢？结合题中另一个条件PA=PB=PC，我们应该在平面PAB内作，这样与条件联系起来更方便(至少有一个相同的点P). 在三角形PAB中，过点P作AB的垂线