3.4-函数的单调性（含pdf版）-2023-2024学年初升高（新高一）数学暑假衔接教材（人教A版2019）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ❊3.4 函数的单调性 考点先知 知 识 考 点 函数的单调性 1.定义法证明函数的单调性 2.求函数的单调区间 3.利用单调性解不等式 题型精析 知识点一 函数的单调性 单调性的定义 若函数 )(xf 在区间 D 上，任意 21 xx、 满足 0 )()( 21 21    xx xfxf ，则函数在区间 D 上单増；若满足 0)()( 21 21    xx xfxf ，则函数在区间D上单减．用一句话概括就是同号为増，异号为减． 条件 一般地，设函数 )(xf 的定义域为 I ：如果对于定义域 I 内某 个区间 D上的任意两个自变量的值 1x ， 2x ，当 21 xx  时， 都有 )()( 21 xfxf  都有 )()( 21 xfxf  结论 那么就说函数 )(xf 在区间 D上是增函数 那么就说函数 )(xf 在区间D上是减函数 图示 题型一 函数的单调性 例 判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）因为 )2()1( ff  ，所以函数 )(xf 在 ]2,1[ 上是增函数．（ ） （2）若 )(xf 为 R上的减函数，则 )1()0( ff  ．（ ） （3）若函数 )(xf 在区间 ]2,1( 和 )3,2( 上均为增函数，则函数 )(xf 在区间 )3,1( 上为增函数．（ ） （4）若定义在 R上函数 )(xf 满足 0)]()([)( 2121  xfxfxx )( 21 xx  ，则函数 )(xf 是增函数．（ ） 变 判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）函数 12  xy 在 R上单调递增．（ ） （2）函数 2)( xxf  在定义域上单调递增．（ ） （3）函数 x xf 2)(  在 R上单调递减．（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 （4）若定义在 R上函数 )(xf 满足 0 )()( 21 21    xx xfxf )( 21 xx  ，则函数 )(xf 是减函数．（ ） 知识点二 定义法证明函数的单调性 步骤 作法 取值 )( 212121 xxxxDxx  或，令、取 作差 用 )()( 21 xfxf  变形 合并同类项、通分（分式）、分解因式（整式）、分子分母有理化（根式）、配方等 定号 判断 )()( 21 xfxf  的符号 结论 同号为増，异号为减 题型二 定义法证明函数的单调性 例 1 已知函数 1 32)(    x xxf ． （1）判断函数 )(xf 在 )0[ ， 上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数 )(xf 在区间 ]92[ ， 上的值域． 例 2 已知函数 axaxxf 2)1()( 2  ，且 3)1( f . （1）求实数 a的值； （2）判断 )(xf 在区间 ]0( ， 上的单调性并用定义证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 变 1 已知函数 cx bxxf  2)( 其中 b、 c为常数且满足 4)1( f ， 5)2( f . （1）求函数 )(xf 的解析式； （2）证明：函数 )(xf 在区间(0，1)上是减函数. 变 2 已知函数   2 3 1 f x x   .判断函数  f x 在 1 , 3      上的单调性，并证明. 知识点三 函数图像的翻折变换 内容 )()( xfxf  去左翻右（去掉 y轴左边的图像，将 y轴右边的翻折至左边） )()( xfxf  去下翻上（将 x轴下方的图像翻折至 x轴上方） 题型三 求函数的单调区间 类型一 二次函数的单调性 求二次函数单调性的方法是：对称轴法，所以，首先要求出函数的对称轴. 例 1 求函数 2)( 2  xxxf 的单调性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 变 1 求函数 13)( 2  xxxf 的单调性． 例 2 求函数 32)( 2  xxxf 的单调性． 例 3 求函数 2)( 2  xxxf 的单调性． 变 2 求函数 6)( 2  xxxf 的单调性． 变 2 函数   2 3 2f x x x   的单调递增区间是（ ） A． ) 2 3[ ， B． ] 2 31[， 和 )2[ ， C． ]1( ， 和 ]2 2 3[ ， D． ) 2 3( ， 和 )2[ ， 例 4 （1）已知 12)( 2  axxxf 在 )2[  ， 上是单调递增函数，则实数 a的取值范围为_______. （2）已知 12)( 2  axxxf 在