第13讲 指数及其运算-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第13讲 指数及其运算 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算； 2．能准确把握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练应用幂的运算性质进行幂的运算。 一、n次方根的定义 1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且 2、个数： （1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； （2）当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 二、根式 1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2、性质：（，且） a； 三、分数指数幂的意义 1、分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 四、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 五、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 六、条件求值问题的解题思路 1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； 2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； 3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。 考点一：根式的概念辨析 例1．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 考点二：利用根式的性质化简求值 例2．（多选）下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】化简与求值． （1）； （2） （3）； （4）＋. 考点三：多重根式的化简 例3．化简（ ） A． B． C．2 D． 【变式训练】化简________. 考点四：根式与分数指数幂的互化 例4．化简（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（多选）下列根式、分数指数幂的互化中，不正确的是（ ） A．－＝ B．＝－ C．＝ D．＝ 考点五：利用指数幂的性质化简 例5．的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】计算下列各式． （1）； （2）. 考点六：条件求值问题 例6．已知，则的值是（ ） A．15 B．12 C．16 D．25 【变式训练】已知，则的值为________. 1．二次根式成立的条件是（ ） A． B． C． D．是任意实数 2．将表示成分数指数幂，其结果是（ ） A． B． C． D． 3．下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ） A． B． C． D． 4．式子的计算结果为（ ） A． B． C． D． 5．计算的结果为（ ） A． B．1 C．2 D． 6．（多选）已知，则等于（ ） A． B． C．1 D． 7．（多选）已知，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 8．化简的结果是______． 9．当时，化简______. 10．若代数式有意义，则__________. 11．计算： （1）； （2）. 12．（1）求值：； （2）已知，