专题03 全等三角形常见五种辅助线添法专训-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 全等三角形常见五种辅助线添法专训 【目录】 辅助线添法一 倍长中线法 辅助线添法二 截长补短法 辅助线添法三 旋转法 辅助线添法四 作平行线法 辅助线添法五 作垂线法 【经典例题一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（2023春·吉林·八年级校考阶段练习）【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． (1)由已知和作图能得到的理由是____________． A．        B．        C．        D． (2)探究得出的取值范围___________． A．        B．        C．        D． 【问题解决】 (3)如图2，在中，，，是的中线，求证：． 【变式训练】 1．（2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期末）小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值 范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小明证明用到的判定定理是： (用字母表示)； (2)的取值范围是 ； (3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 2．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 3．（2023·江苏·八年级假期作业）【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． 【经典例题二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（2023·江苏·八年级假期作业）把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形以D为顶点作，交边、于M、N． (1)若，，两边分别交、于点M、N，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【变式训练】 1．（2023·江苏·八年级假期作业）已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 2．（2023·江苏·八年级假期作业）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的