专题七 三角形的中位线（一）-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题七、 三角形的中位线（一） 【专题导航】 目录 【考点1 利用三角形的中位线求角度】..................................................................................1 【考点2 利用三角形的中位线求线段长度】..........................................................................2 【考点3 利用三角形的中位线求周长】................................................................................. 4 【考点4 利用三角形的中位线求面积】.................................................................................5 【考点5 利用三角形的中位线求最值】.................................................................................6 【典例剖析】 【知识点 三角形的中位线】 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 【考点1 利用三角形的中位线求角度】 【典例1-1】如图，在中，点E，F分别为的中点，点D为上一点，连接交于点G，已知．    (1)求证：． (2)已知，若，求的度数． 【典例1-2】如图所示，在中，，D，E分别在，上，，，的中点分别是M，N，直线分别交，于P，Q，求的度数． 针对训练1 【变式1-1】如图，是等边三角形，点D在边上（点D与点A、B不重合），过点D作交于点E，连接．M、N、P分别为、、的中点，顺次连接M、N、P． (1)求证：． (2)的大小是___________度． 【变式1-2】在四边形中，，点E，F分别是边，的中点． (1)如图1，点P为对角线的中点，连接，，若，则______度； (2)如图2，直线分别与，的延长线交于点M，N．求证： 【考点2 利用三角形的中位线求线段长度】 【典例2-1】如图，中，平分于点D．    (1)请用尺规作图作边的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)设与交于点E，连接，若，求的长． 【典例2-2】已知，如图1，中，，D，E分别是线段，的中点，且满足，，P为边上一动点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点H． (1)求证：； (2)若，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，延长交于点G，若，当为直角三角形时，求的长度． 针对训练2 【变式2-1】在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠点落在点处． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-2】（1）【方法探究】如图1，在四边形中，，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点．求证：； （2）【方法应用】 ①如图2，在四边形中，，，，点P、Q分别为、的中点，求的长； ②如图3，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，则 ． 【考点3 利用三角形的中位线求周长】 【典例3-1】如图1，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BO=DO，∠BCA=∠CAD． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD=2AB，BC=15，AC=16，求△EFG的周长． 【典例3-2】如图，为的中位线，在外取点，连接，，，与相交于点，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的周长． 针对训练3 【变式3-1】如图，在中，点D是边的中点，平分，连接交于点F，，连接．已知． (1)求证：； (2)求△ABC的周长． 【变式3-2】已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在上，且，． (1)求证：； (2)若的周长为3，求的周长． 【考点4 利用三角形的中位线求面积】 【典例4-1】如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积． 【典例4-2】如图，在中，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形的面积为，求的面积． 针对训练4 【变式4-1】如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O． （1）求证：四边形EBCF是等腰梯形； （2）EF=1，求四边形