专题五 勾股定理与最值问题-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题五、 勾股定理与最值问题 【专题导航】 目录 【考点一 求两条线段和的最小值 】..........................................1 【考点二 立体图形上求最短路径 】..........................................4 【考点三 求一条线段的最大值 】............................................5 【考点四 求一条线段的最小值 】............................................6 【典例剖析】 【考点一 求两条线段和的最小值 】 方法1:将军饮马模型用轴对称法求最值 【典例1-1】如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． (1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） (2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 【典例1-2】 (1)问题提出 如图1，已知点C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，则的最小值是_______． (2)问题探究 如图2，在四边形中，，，，，，E是四边形内一动点，且，求的最小值． (3)问题解决 如图3，已知，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 针对训练1 【变式1-1】如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算． 【变式1-2】如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元． （1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省； （2）求铺设水管的最省总费用． 方法2：构造全等，利用三角形两边之和大于第三边，在三点共线时，求出最小值 【典例1-3】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连结AQ，CP，则AQ+CP的最小值为（　　） A． B． C． D．6 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 　　． 方法3 .两个动点的时候，轴对称法与垂线段最短结合求最值 【典例1-4】如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是______． 【变式1-3】如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ___________．当的值最小时， ___________ 【考点二 立体图形上求最短路径 】 方法：化曲为直法求最小值 【典例2-1】如图，一只蚂蚁在圆柱形玻璃杯的外壁，距高底端2厘米A处发现在自己左上方距离顶端2厘米B处内壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，求蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离． 【典例2-2】如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）. (1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答） 【变式2-1】如图,一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处,若,,,问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行,才能最快抓到苍蝇?这时蜘蛛走过的路程是多少厘米? 【变式2-2】初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图