专题二 二次根式的运算及化简-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题二、二次根式的运算及化简 【专题导航】 目录 【考点一 二次根式的乘除】................................................1 【考点二 最简二次根式】..................................................2 【考点三 二次根式的加减】................................................3 【考点四 二次根式的混合运算】............................................4 【考点五 二次根式的化简求值】............................................5 【考点六 二次根式的分母有理化】..........................................7 【典例剖析】 【考点一 二次根式的乘除】 （1）①二次根式的乘法法则：； ②积的算术平方根：； ③二次根式的除法法则：； ④商的算术平方根：. （2）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。 进行二次根式的除法运算时a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。 （3） 在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 【典例1】计算的结果是　　 A．16 B． C．4 D． 【典例2】计算的结果是　　 A． B．3 C． D． 【变式1-1】蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（    ）平方米． A． B． C． D． 【变式1-2】若，则化简（    ） A．m B．-m C．n D．-n 【变式1-3】计算：，则□中的数是（    ） A．6 B． C．2 D． 【变式1-4】如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为______． 1 b 3 a 2 6 c 【变式1-5】计算： 【考点二 最简二次根式】 我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 【典例2-1】如果是最简二次根式，则x的值可能是（    ） A．11 B．13 C．21 D．27 【典例2-2】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】化简：________． 【变式2-2】将化为最简二次根式，其结果是 __． 【变式2-3】．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【变式2-4】化简后与最简二次根式的被开方数相等，则_________. 【变式2-5】如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值． 【考点三 二次根式的加减】 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方 法为系数相加减，根式不变 【典例3-1】一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．甲、乙两名同学说的都对 D．无法判断 【典例3-2】计算的值是_____． 【变式 3-1】（1）计算：； （2）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第1步 ………第2步 …………………………第3步 ．………………………………第4步 任务： ①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为______（用字母表示）； ②上述解答过程，从第______步开始出错，具体的错误是______； ③计算的正确结果为______． 【变式 3-2】（1）计算：； （2）下面是小明同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： …………………………………………………………………………第一步 ……………………………………………………………………第二步 ………………………………………………………………………………第三步 ……………………………………………………………………………第四步 ．……………………………………………………………………