专题一 二次根式定义及性质-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题一、二次根式定义及性质 【专题导航】 目录 【考点一 二次根式的判断】.................................................1 【考点二 二次根式有意义的条件】...........................................1 【考点三 二次根式的性质】.................................................2 【考点四 二次根式性质的综合应用】.........................................5 【针对训练】..............................................................6 【典例剖析】 【考点一、 二次根式的判断】 二次根式的定义：形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数. 【典例1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【考点二、 二次根式有意义的条件】 （1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：. （3）判断方法：①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；②如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【典例2】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若时，无意义，当时，是二次根式，则a的值可能是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2-2】已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________． 【变式2-3】．已知x，y都是实数，且，则_________ 【考点三 、二次根式的性质】 性质1： .（二次根式的非负性） 性质2：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质3：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 【典例3-1】已知为实数，且，下列说法：①；②当时，的值是4或；③；④．其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3-2】．我们已经学习了二次根式的性质：，根据等式的对称性，可以得到即可以把一个非负数写成完全平方的形式.据此解答下列问题： (1)把13写成非负数的完全平方，结果是 ___________； (2)在实数范围内因式分解：. 【变式3-1】阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简∶ 解∶隐含条件，解得： ∴ ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简： 【变式3-2】．同学们在数学活动中研究了的性质：①；②；③．请你运用的性质解决下列问题： (1)式子有意义，则x的取值范围______； (2)计算：的值； (3)已知：，求xy的值． 【变式3-3】阅读材料，解答问题： 材料：已知：，求的值，张山同学是这样解答的： 因为 所以 问题： (1)已知：， ①求的值； ②求x的值． (2)直接写出代数式的最大值和最小值． 【变式3-4】问题：先化简，再求值：，其中． 小亮和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下． 小亮的解答过程如下： 解： ………………（第一步） ……………………（第二步） …………………………（第三步） 当时， 原式．…………（第四步） 小颖为验证小亮的做法是否正确，她将直接代入原式中： ． 由此，小颖认为小亮的解答有错误，你认为小亮的解答有错误吗？如果有，错在哪步？并给出正确的完整的解答过程． 【变式3-5】．在学了二次根式后，老师布置了这样一道题：化简并求值其中，小红的解法如下： 解：原式    第一步         第二步         第三步         第四步 显然，小红的解法不正确． （1）小红的解法是从第______步开始出现错误的？ （2）请你帮她写出正确的解答过程的． 【变式3-6】．阅读材料，解答问题。 例：若代数式 的值是常数2，求a的取值范围． 分析：原式=，而 表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式=在数轴上，分别讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在