第12讲 等腰三角形的性质和判定-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（人教版）

第12讲 等腰三角形的性质和判定 【人教版】 ·模块一 等腰三角形的性质 ·模块二 等腰三角形的判定 ·模块三 课后作业 模块一 等腰三角形的性质 等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. 【考点1 等腰三角形性质“等边对等角”的应用】 【例1.1】在中，，若，则（    ） A． B． C． D．或 【例1.2】已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=70°，则∠BOC=_________． 【例1.3】如图，在中，，点E、F分别是边上，且．若，则_________°． 【变式1.1】如图，在中，，，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】如图，在中，点在边上，．若，则的大小为_____度． 【例2.2】如图，在中，，是边上的中线，在上取一点E，连结，使得，若，则_____． 【例2.3】如图，在中，，为的中点，，，垂足分别是，，求证：．（不证）    【变式2.1】如图分别是的中线和角平分线，若，则的度数是_______． 【变式2.2】如图，中，于点D，于点E，于点F，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2.3】如图，中，，，是的高，将沿折叠得到，点N落在线段上． (1)求的度数． (2)过点N作的平分线交于点O，若，求的长． 模块二 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【考点1 等腰三角形的判定】 【例1.1】的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【例1.2】如图，在中，和分别平分和，过作，分别交，于点，，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【例1.3】已知：在中，为的中点，，，垂足分别为点、，且．求证：是等腰三角形． 【变式1.1】如图，，点E在上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1.2】如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点A落在点E处，与交于点F，且，则的长为______． 【变式1.3】我们知道，如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．证明这种文字性命题一般思路为：画草图，写出已知求证并证明． 按以上思路完成下面的作图与填空． 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，是的外角，平分，． 求证：． 证明：用直尺和圆规作的平分线．（只保留作图痕迹） ∵， ∴ ① ， ② ， ∵平分， ∴ ③ ， ∴ ④ ， ∴（等角对等边）． 【考点2 等腰三角形的性质与判定的综合应用】 【例2.1】如图，在中，，是的中点，是延长线上一点，连接，交于点，连接，若，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【例2.2】如图所示，在 中，，平分，，则图中等腰三角形的个数有________个． 【例2.3】请将下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，，交的延长线于点E，且．求证：． 证明：∵， ∴________（两直线平行，同位角相等）， （_____________）． ∵， ∴_____________（等量代换）， ∴（____________）． ∵， ∴（等量代换）， ∴（___________）． 【变式2.1】如图，于点，为的中点，连接，的平分线交于点，连接，若，则为（　　） A． B． C． D． 【变式2.2】如右图，是的高，是的中线，是的角平分线，若，则=________. 【变式2.3】如图，在中，是边上的一点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点．若，求证：是等腰三角形． 模块三 课后作业 1．等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的底边长为（    ） A．6 B．4 C．8 D．4或8 2．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B．：：：： C．， D．：：：： 3．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C．3.5 D．2 4．如图，点P是的角平分线上一点，点Q是上一点，且，若，则线段的长是（    ） A． B． C．3 D．2 5．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C