1.3 空间向量及其运算的坐标表示（六种常考题型）-【高一升高二衔接】2023年新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.3空间向量及其运算的坐标表示 （六种常考题型） 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点2 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点3 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 题型一 空间直角坐标系及坐标表示 1．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是__________ 2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________． 6．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______． 9．在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 11．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________. 12．如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，， (1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示； (2)求的坐标． 题型二 空间向量的坐标运算 13．若向量，满足条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 14．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 15．若，，，则（    ） A．-11 B．3 C．4 D．15 16．已知，，则（    ） A．-5 B．-7 C．3 D． 17．已知点，，向量，则点的坐标为______． 18．下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 19．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 20．（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 21．设为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关.若线性相关，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 22．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B．若，则的夹角是钝角 C．已知，，若与垂直，则 D．已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足，则点O是唯一的，且一定与A、B、C共面 题型三 空间向量的模长坐标表示 24．与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 25．，，则_______． 26．已知，，，则________. 27．已知点，若点P满足，则（    ）． A．37 B． C．57 D． 28．