1.1.2 空间向量数量积运算（四种常考题型）-【高一升高二衔接】2023年新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.1.2空间向量数量积运算（四种常考题型） 知识点1 空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 知识点2 空间向量的数量积运算 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 4．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 题型一 空间向量数量积的运算 1．如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 3．已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 4．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ）    A． B．4 C． D． 5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 7．如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD，，G为棱BE的中点. (1)证明：平面BCE. (2)若，，，求. 8．如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) (3) 9．（多选）已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（    ） A．； B． C．； D． 10．平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 11．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 12．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求 (1)； (2)． 题型二 用数量积解决夹角问题 13．在三棱锥中，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．不确定 14．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 15．如图，三棱锥中，、所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 16．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 17．如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 19．在三维空间中，三个非零向量满足，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形 20．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B．133 C． D．61 21．（多选）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 22．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________. 23．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________． 24．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=8cm.则这个二面角的余弦值为_____________. 题型三 利用数量积证明空间垂直关系 25．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 26．在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C．0 D． 27．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 28．（多选）已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积一定为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 29．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，M为BC中点，△AMD是（    ） A．钝角三