第12讲：容斥定理-【暑假辅导】2023年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第十二讲：容斥定理 【教学目标】 1．掌握Venn图，表示相关的集合； 2．通过集合容斥定理公式，解决实际生活中的问题. 【基础知识】 容斥定理公式： （1） （2） 【题型目录】 考点一：容斥定理的应用（一） 考点二：容斥定理的应用（二） 考点三：容斥定理的应用（三） 【考点剖析】 考点一：容斥定理的应用（一） 两个集合，利用Venn图，表示出两个集合公共部分和非公共部分，从而解答出来. 例1．某高中学生运动会，某班名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有人，参加径赛的有人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合Venn图即可求解. 【详解】由题可得参加比赛的学生共有30人， 设参加田赛的学生为集合A，参加径赛的学生为集合， 则，，， 如图，因为， 所以田赛和径赛都参加的学生人数为. 故选：C. 变式训练1．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（ ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】C 【分析】由题意可知：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有10人，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，再计算即可得解. 【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图， 使用过共享单车或移动支付的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位， 则可得：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90-80=10人， 又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位， 即使用过共享单车的学生人数为10+60=70， 故选:C. 变式训练2．年春节影市火爆依旧，《无名》《满江红》《交换人生》票房不断刷新，为了解我校高三名学生的观影情况，随机调查了名在校学生，其中看过《无名》或《满江红》的学生共有位，看过《满江红》的学生共有位，看过《满江红》且看过《无名》的学生共有位，则该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以集合表示调查的名在校学生看过《无名》的学生构成的集合，集合表示调查的名在校学生看过《满江红》的学生构成的集合，利用韦恩图计算出调查的名在校学生看过《无名》的学生人数，再利用分层抽样可求得结果. 【详解】以集合表示调查的名在校学生看过《无名》的学生构成的集合， 集合表示调查的名在校学生看过《满江红》的学生构成的集合，如下图所示： 所以，调查的名在校学生看过《无名》的学生人数为， 所以，该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为， 故选：C. 变式训练3．集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于l9世纪末创立的．在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则．对于任意两个有限集合A，B，有．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ） A．28 B．23 C．18 D．16 【答案】B 【分析】根据所给公式即可代入求解. 【详解】设参加田赛的学生组成集合A，则，参加径赛的学生组成集合B，则，由题意得，所以，， 所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有23． 故选：B 考点二：容斥定理应用（二） 三个集合，利用Venn图，表示出其中两个集合公共部分三个集合的公共部分，和非公共部分，从而解答出来. 例2．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D. 变式训练1．我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其