第08讲：集合之间的关系（二）-【暑假辅导】2023年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第八讲：集合之间的关系（二） 【教学目标】 1．掌握子集，真子集的概念，并能用符号；Venn图；或数轴表示； 2．根据集合之间的关系，利用Venn图或数轴表示出来，从而建立等式或不等式，求解出参数的取值范围. 【基础知识】 一、子集、真子集、集合相等 子集、真子集、集合相等的相关概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 (或) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 二、利用集合关系求参数的方法 1．分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． 2．此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． 3．此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 【题型目录】 考点一：非空集合的简单子集关系（求参数） 考点二：有限集合中空集陷阱（求参数） 考点三：无限集中的关系（非空集合）（求参数） 考点四：无限集中空集陷阱（求参数） 【考点剖析】 考点一：非空集合的简单子集关系（求参数） 根据集合的关系，找到相关参数的等式进行分类讨论，注意：求解出答案之后，应该验证，是否符合题意，集合的互异性. 例1．．设集合，，若，则（ ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 变式训练1．．已知集合，，若，则实数组成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 或， 解得或或， 故实数组成的集合为. 故选：C. 变式训练2．已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，所以， 所以实数m的取值集合为. 故选：C 变式训练3．已知，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于表示一元二次方程的解的集合， 而最多有两个不相等的实数根， 由于，所以 故由韦达定理可得， 故选：C 考点二：有限集合中空集陷阱（求参数） 空集是任何集合的子集，即不存在，则. 例2．．已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 因为，所以，，. 当时，关于x的方程无解，所以； 当时，是关于x的方程的根，所以； 当时，是关于x的方程的根，所以. 故实数的取值构成的集合为. 故选：D 变式训练1．已集合，若，则实数的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ∴当时，，满足； 当时，若，则时，时，． 的取值集合是． 故选：C． 变式训练2．已知集合，若，则实数（ ） A．或1 B．0或1 C．1 D． 【答案】B 【分析】先求得合，再分和，两种情况讨论，结合题意，即可求解. 【详解】解：由集合， 对于方程， 当时，此时方程无解，可得集合，满足； 当时，解得，要使得，则满足，可得， 所以实数的值为或. 故选：B. 变式训练3．已知集合，若，则实数a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，故时，则且， 若中只有一个元素， ①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去； ②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去， 当时，则符合题意， 综上可知：或， 故选：D. 考点三：无限集中的关系（非空集合）（求参数） 利用数轴，表示无限集合，子集的范围小. 例3．已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围. 【详解】由题意得，解得，故， 因为，所以. 故选：A 变式训练1．已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的子集关系求解. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：B 变式训练2．已知集合，或，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，或，， ， ． 故选：D 变式训练3．已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为或，， 因为， 所以. 故选：A. 考点四：无限集中空集陷阱（求参数） 利用数轴表示集合的范围，并注意子集存在空集的情况. 例4．已知集合，，若，则