第07讲：集合之间的关系（一）-【暑假辅导】2023年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第七讲：集合之间的关系（一） 【教学目标】 1．掌握子集，真子集，集合相等，空集的概念，符号的表示形式； 2．掌握相关符号代表的意义，并能用符号和Venn图表达集合间的关系； 3．掌握列举有限集的所有子集的方法． 【基础知识】 一、子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 (或) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 二、子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 三、空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【题型目录】 考点一：简单集合间关系的判断 考点二：集合之间的关系 考点三：确定集合的子集、真子集 考点四：子集、真子集的个数 考点五：集合可能的个数（子集，真子集） 考点六：集合相等 【考点剖析】 考点一：简单集合间关系的判断 通过集合中元素的多少，判断集合与集合的关系是子集，真子集，相等，不相等的关系. 例1．已知集合，，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以，故A正确；B、C、D均不正确. 故选：A 变式训练1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 变式训练2．若集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 而表示奇数，表示整数， 所以． 故选：B． 变式训练3．．已知全集，能表示集合关系的Venn图是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解可得，所以， 又，所以，根据选项的Venn图可知选项A符合. 故选：A 考点二：集合之间的关系 通过观察集合中元素的情况，确定集合之间的关系，注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 例2．．下列五个关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】①由于集合自身是自身的子集，故①正确； ②根据集合的无序性，故②正确； ③根据元素与集合的关系，故③正确； ④空集是任何集合的子集，故④正确； ⑤空集是集合内不包括任何元素，表示集合内只有一个元素0，故，故⑤错误；因此中正确的个数为4个， 故选：C. 变式训练1．下列表述错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，显然成立，故正确； 对于B，空集是任何集合的子集，故正确； 对于C，由元素的无序性可知，故正确； 对于D，集合为点集，与为不同点，故错误. 故选：D 变式训练2．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 变式训练3．下列各式中，正确的是（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦ 【答案】A 【详解】对于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正确，余者不正确，故①③错误，②正确； 对于④⑤，元素与集合之间的关系用“”或“”表示，故不正确，成立，故④错误，⑤正确； 对于⑥⑦，集合与集合之间是包含或不包含的关系，故不正确，正确，故⑥错误，⑦正确； 对于⑧，由集合中元素的无序性，可知，故正确，故⑧正确； 综上：正确的命题有②⑤⑦⑧. 故选：A. 考点三：确定集合的子集、真子集 已知集合时，书写出对应的集合的子集情况，真子集情况，并判断子集和真子集的个数. 例3．已知集合，且； (1)求实数； (2)写出的所有真子集. 【答案】(1)；(2)，， 【详解】（1）因为，所以或， 当，即时，不满足集合元素的互异性； 当时，解得（不满足集合元素互异性舍去）或， 所以当时，， 综上实数. （2）由（1）得， 所以的所有真子集为，，. 变式训练1．写出集合｛a，b，c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集? 【答案】子集为：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；真子集为：φ，{a}，{b}，{