第11讲 圆的方程（六大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第11讲 圆的方程 【题型归纳目录】 题型一：圆的标准方程 题型二：圆的一般方程 题型三：点与圆的位置关系 题型四：二元二次曲线与圆的关系 题型五：圆过定点问题 题型六：轨迹问题 【知识点梳理】 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典例例题】 题型一：圆的标准方程 例1．（2023·高二课时练习）圆心在原点，半径是的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·高二单元测试）圆关于直线对称的圆是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·新疆昌吉·高二校考期末）已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为（    ） A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 例4．（2023·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·福建漳州·高二统考期末）若过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·福建福州·高二校联考期末）若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C．5 D．3 例7．（2023·全国·高二专题练习）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 例8．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例9．（2023·四川眉山·高二仁寿一中统考期中）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例10．（2023·高二课时练习）已知圆的圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：圆的一般方程 例11．（2023·高二课时练习）圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 例12．（2023·山东临沂·高二统考期末）已知圆，则圆心及半径分别为（    ） A． B． C． D． 例13．（2023·高二课时练习）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 例14．（2023·天津和平·高二统考期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 例15．（2023·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 例16．（2023·高二课时练习）若不同的四点，，，共圆，则a的值为（